Ο Γκάους και η Κατασκευή του Κανονικού 17-γώνου

Σε ηλικία μόλις $19$ ετών, ο Carl Friedrich Gauss έκανε μια πρωτοποριακή ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει την ιστορία των μαθηματικών: απέδειξε ότι το κανονικό $17$-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μόνο χάρακα και διαβήτη. 

Αυτό το επίτευγμα, που σημειώθηκε το $1796$, ήταν ιδιαίτερα σημαντικό καθώς σηματοδότησε την πρώτη πρόοδο στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων μετά από $2000$ χρόνια, από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Τριχοτόμηση Γωνίας με Αναδίπλωση Χαρτιού

Η τριχοτόμηση μιας αυθαίρετης γωνίας — δηλαδή η διαίρεσή της σε τρία ίσα μέρη — είναι ένα από τα κλασικά προβλήματα της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας.
Αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να επιλυθεί με κανόνα και διαβήτη μόνο, όπως απέδειξε ο Pierre Wantzel το 1837.

Ωστόσο, η χρήση αναδιπλώσεων (origami) ανοίγει νέους δρόμους: η τριχοτόμηση καθίσταται εφικτή!

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γωνία σχεδιασμένη στην άκρη ενός φύλλου χαρτιού – συγκεκριμένα, θεωρούμε τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στον βάση του φύλλου και μια ευθεία γραμμή $d$.

Βήματα της κατασκευής:

Πώς να σχεδιάσετε ένα κανονικό πεντάγωνο;

Νότιος πόλος και κατασκευή

Στο σχήμα οι κύκλοι $K_1\kappa \alpha \iota K_2$ τέμνονται στα $C,D$ εφάπτονται εσωτερικά σε κύκλο $\mathrm{\Omega }$ και στη χορδή $AB$ του $\mathrm{\Omega }$. 

α) Δείξετε ότι η ευθεία $CD$ διέρχεται από το νότιο πόλο, $S$ του $\mathrm{\Omega }$. 

β) Με τη βοήθεια του προηγουμένου συμπεράσματος ή αλλιώς πως θα κατασκευάζατε γεωμετρικά, το πιο πάνω σχήμα;

Πηγή: mathematica

Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Τριχοτόμηση Γωνίας 54°: Όταν Σπάνε οι Κανόνες

Ένα από τα τρία διάσημα αρχαία γεωμετρικά προβλήματα είναι η τριχοτόμηση μιας γωνίας με κανόνα και διαβήτη. Ενώ είναι γνωστό ότι γενικά το πρόβλημα αυτό (όπως και τα άλλα δύο) δεν είναι λύσιμο με παραδοσιακές γεωμετρικές μεθόδους, υπάρχουν ορισμένες εξαιρέσεις. 

Στην περίπτωση αυτή, ζητείται να τριχοτομήσουμε μια γωνία 54° χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη. 

A. Shvetsov (Περιοδικό Quantum) 

Κατασκευή Δύο Διαμέτρων

Στο παρακάτω σχήμα, να κατασκευαστού δύο διάμετροι των δύο κύκλων, έτσι ώστε τα τμήματα που συνδέουν τα άκρα τους να είναι $||$ με το ευθύγραμμο τμήμα $AB$.

Μια Εκπληκτική Γεωμετρική Μέθοδος για Εφαπτομένες σε Έλλειψη

Ανακαλύψτε μια όμορφη μέθοδο για να βρείτε τις εφαπτομένες σε μια έλλειψη από ένα σημείο έξω από αυτήν, όπως αναφέρεται από τον David Bloom το $2001$, ο οποίος την έμαθε από ένα μάθημα του O. Zariski το $1958$:

• Σημείο Εκκίνησης: Έστω $E$ ένα σημείο έξω από την έλλειψη.
• Τέμνουσες: Από το ${\rm E}$ φέρουμε δύο τέμνουσες $CD$ και $FG$.

Κατασκευή Γωνιών από το 150 μέχρι 900

Με ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο και με ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες ${30}^0$ και ${60}^0$ κατασκευάζουμε τις γωνίες: 

${15}^0$, ${30}^0$, ${45}^0$, ${60}^0$,${75}^0$ και ${90}^0$.

Hirano's Construction of a Regular Pentagon

Read more here.

Τετραγωνικές ρίζες και μήκη σε κύβους

Λείπει η τετραγωνική ρίζα του 7.

Make Two 3D Vectors Parallel by Rotating Them Around Separate Axes

Δημιουργία τριών ελλείψεων !

Πως σχεδιάζουμε μια υπερβολή με δύο κύκλους

Πως σχεδιάζουμε μια διάμετρο με δύο κύκλους?

Με τη σειρά: 2,2,22,4,42,8,...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: Κανονικό πεντάγωνο

Κατασκευή του αριθμού π (με προσέγγιση)

Πώς να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους $\pi =3,1415$;

Δημιουργήστε ένα φιλί

Ο Frederick Soddy, νικητής του βραβείου Νόμπελ το 1921, ονόμασε Kiss αυτό που εμείς ονμάζουμε κύκλους του Descartes.

Δίνονται τρία σημεία σε κύκλο.

Να κατασκευάσουμε τρεις κύκλοι που εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη και εφάπτονται εσωτερικά στον δεδομένο κύκλο στα δεδομένα σημεία.

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου με κανόνα και διαβήτη.