Ακέραιες λύσεις

Να λυθεί η εξίσωση

$x^3 + 1 = y^2$

στο σύνολο των ακεραίων αριθμών. (Βρείτε τουλάχιστον $3$ διαφορετικές ρίζες).

That’s the beauty of math

In $2019$, mathematicians finally solved one of the hardest math problems—one that had stumped them for decades. It’s called a Diophantine Equation, and it’s sometimes known as the “summing of three cubes”: 

Find $x, y$, and $z$ such that 

$x³+y³+z³=k$ 

for each $k$ from one to $100$.

On the surface, it seems easy. Can you think of the integers for $x, y$, and $z$ so that $x³+y³+z³=8$? Sure. One answer is $x = 1, y = -1$, and $z = 2$. But what about the integers for $x, y$, and $z$ so that x³+y³+z³=42?

Άρρητη και τρεις άγνωστοι

Nα λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt{z-y^2-6x-26}+x^2+6y+z-8=0$$

An Introduction to Diophantine Equations (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός  στο $1000$  ακέραιος , που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.

Αλγεβρικοί αριθμοί και σχέσεις μεταξύ παραστάσεων με ριζικά. Ο Ramanujan και κάποιες διοφαντικές εξισώσεις.

Η ομιλία του αείμνηστου καθηγητή Στέλιου Ανδρεαδάκη στα πλαίσια των εκδηλώσεων του παραρτήματος της ΕΜΕ Αιτωλοακαρνανίας.

Πηγή

▪Διοφαντικές εξισώσεις (Ι)

Nα λυθούν οι διοφαντικές εξισώσεις:

i) $x^2=1+y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ν$.

ii)  $x^2+x=y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ζ$.

iii)  $x^6+3x^3+1=y^4$, στο $Ζ$.

iv)  $x^8+2x^6+2x^4+2x^2+1=y^2$, στο $Ζ$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Οκτώ διοφαντικές

Να λυθούν οι παρακάτω διοφαντικές εξισώσεις:
i) $5^x+3^y=8z-2$
ii) $2^x=3+13y$
iii) $x^2-xy+2x-3y=11$
iv) $2x^3-x^2y+x^2+14x-7y+40=0$
v) $(x-2)^4=(y+3)^5$
vi) $\sqrt{x}=1+\sqrt{y}$
vii) $2xy+3y^2=24$
viii) $x^{2}y^{2}+x^{2}y+xy^2+xy=xyz-1$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ζεύγη $(x,y)$

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: 

$x^6 +3x^3+1=y^4$.

▪ Ακέραιες λύσεις

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$y^2 = x^3 − 432$.

▪ $px^2 + 3^n = y^p$

Διοφαντικές εξισώσεις της μορφής:

$px^2 + 3^n = y^p$.

Πηγή:

▪ Ακέραια μέρη

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345$

δεν έχει πραγματικές λύσεις.

13th Canadian MO 1981

 

▪ Διοφαντική εξίσωση

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα:

$x^4 + (x+1)^4 = y^2 + (y+1)^2.$

 

▪ Το 10ο Πρόβλημα του Hilbert

Το 10ο Πρόβλημα του Hilbert, το δέκατο στη σειρά από τα 23 προβλήματα που έθεσε ο David Hilbert το 1900 ως οδηγό για τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα ζητούσε:

«Να βρεθεί διαδικασία (δηλ. "αλγόριθμος") η οποία σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων να αποφαίνεται κατά πόσο μία πολυωνυμική (διοφαντική) εξίσωση (με ακεραίους συντελεστές και με πολλές μεταβλητές) έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις».

Το πρόβλημα λύθηκε το 1970 από τον Yuri Matijasevich με αρνητικό τρόπο:

«Τέτοια διαδικασία δεν υπάρχει». Η απόδειξη χρησιμοποιεί εργαλεία Μαθηματικής Λογικής και Θεωρίας Αριθμών.
Δείτε και εδώ.

▪ Το έργο του Διοφάντου του Αλεξανδρέως

Μαθηματικά και Παιδεία στην Ύστερη Αρχαιότητα

Το έργο του Διοφάντου του Αλεξανδρέως

Του Γιάννη Χριστιανίδη

▪ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης

Έστω η εξίσωση αx + βy = γ , όπου α, β, γ ακέραιοι με α, β ≠ 0. Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, δηλαδή ζεύγη ακεραίων (x, y) που την επαληθεύουν, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε μια γραμμική διοφαντική εξίσωση.

Μερικές διοφαντικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλές λύσεις, όπως, για παράδειγμα, η 3x + 6y = 18, για την οποία μπορούμε να διαπιστώσουμε με αντικατάσταση ότι τα ζεύγη (4, 1), (-6, 6), (10, -2) είναι ακέραιες λύσεις της.Υπάρχουν όμως διοφαντικές εξισώσεις που δεν έχουν καμιά λύση. 

Για παράδειγμα, η διοφαντική εξίσωση 2x + 6y = 13 δεν έχει καμιά λύση, αφού για όλες τις ακέραιες τιμές των το πρώτο μέλος της είναι άρτιος αριθμός, ενώ το δεύτερο μέλος της είναι περιττός αριθμός. Το θεώρημα που ακολουθεί δίνει απάντηση στο ερώτημα πότε μια διοφαντική εξίσωση έχει λύση, και αν έχει, πόσες είναι αυτές οι λύσεις.

ΘΕΩΡΗΜΑ 

Η γραμμική διοφαντική εξίσωση αx + βy = γ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δ των α, β διαιρεί το γ .

Αν η εξίσωση αυτή έχει μια λύση (x₀,y₀), τότε έχει άπειρες λύσεις (x, y), που δίνονται από τους τύπους:

▪ Διοφαντική

Οι τέσσερις μικρότερες δυνατές διαφορετικές θετικές ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης:

s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³

είναι

6 963 472 309 248 = 2 421³ + 19 083³ = 5 436³ + 18 948³

                            = 10 200³ + 18 072³ = 13 322³ + 16 630³
και οι τρεις επόμενες μεγαλύτερες λύσεις είναι

12 625 136 269 928 = 4 275³ + 23 237³ = 7 068³ + 23 066³
                             = 10 362³ + 22 580³ = 12 939³ + 21 869³
21 131 226 514 944 = 1 539³ + 27 645³ = 8 664³ + 27 360³
                              = 11 772³ + 26 916³ = 17 176³ + 25 232³
26 059 452 841 000 = 4 170³ + 29 620³ = 12 900³ + 28 810³
                              = 14 577³ + 28 423³ = 21 930³ + 24 940³

▪ 4ου και 6ου βαθμού

Αν η εξίσωση  x⁴ − x³ + x + 1 = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς α, β, γ, δ, να αποδειχθεί ότι o αριθμός 1/α + 1/β είναι ρίζα της εξίσωσης: 

x⁶ + 3x⁵ + 3x⁴ + x³ − 5x² − 5x − 2 = 0.

▪ Διοφαντικό σύστημα (ΙΙΙ)

Να βρεθούν οι έξι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί A, B, C και X, Y, Z που ικανοποιούν τις παρακάτω ισότητες:

 A^2+B^2+C^2=X^2+Y^2+Z^2 

και

 A^3+B^3+C^3=X^3+Y^3+Z^3

Απάντηση

▪ Διοφαντικό σύστημα (ΙΙ)

Να βρεθούν οι έξι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί A, B, C και X, Y, Z που ικανοποιούν τις παρακάτω ισότητες:

                                     A+B+C=X+Y+Z

και
                        A^3+B^3+C^3=X^3+Y^3+Z^3
Απάντηση