Εξίσωση-Πρόκληση: Βρες το 'x'!

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Συνάρτηση σε Μορφή Απόλυτων Τιμών

Έστω η συνάρτηση:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+1,& x\le -1\\ x+4,& -1<x\le 0\\ -2x+4,& 0<x\le 1\\ 2x,& x>1\end{array}$ 

Αυτή μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 

$f(x)=A|x+1|+B|x|+C|x-1|+D$ 

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς $A,B,C$ και $D$. 

Προσδιορίστε την τιμή της παράστασης 

$A^2+B^2+C^2+D^2$. 

(A) ${\displaystyle \frac{15}{4}}$ (B) ${\displaystyle \frac{65}{9}}$ (C) ${\displaystyle \frac{35}{4}}$ (D) ${\displaystyle \frac{79}{9}}$ (E) Κανένα από αυτά 

[66] - Algebraic Systems for and from Contests

Να λυθεί το σύστημα:$$\{\begin{array}{l}(x^2+y)\sqrt{y-2x}-4=2x^2+2x+y\\ x^3-x^2-y+6=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{y-1}\end{array}(x,y\in \mathbb{R}).$$ 2023 Quang Nam Province Math Contest (Grade 11)

Μια Πρόκληση από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

Έστω p ένα οποιοδήποτε πολυώνυμο. Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε την εξίσωση 

$p(x)+p(y)=0.$ 

Ποια δύο από τα τέσσερα παραπάνω γραφήματα θα μπορούσαν να είναι το γράφημα της εξίσωσης $p(x)+p(y)=0$, για κάποιο πολυώνυμο $p$;

Αυτό το πρόβλημα είναι από τεστ εισαγωγής στα Μαθηματικά του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης.

Περιοδικότητα ή Χάος; Τι Κρύβει η Ακολουθία;

Δίνεται ότι: 

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=211,\\ x_2=375,\\ x_3=420,\\ x_4=523,\text{και}\\ x_n=x_{n-1}-x_{n-2}+x_{n-3}-x_{n-4}\text{, όταν}n\ge 5,\end{array}$$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

 $x_{531}+x_{753}+x_{975}.$

Ο Όρκος που Παραβιάστηκε: Η Δραματική Ιστορία του Cardano και του Tartaglia

Η διαμάχη μεταξύ του Girolamo Cardano και του Niccolò Tartaglia είναι μια από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες στην ιστορία των μαθηματικών — γεμάτη μυστικά, όρκους, φιλοδοξία και ηθικά διλήμματα. Βρίσκεται στο επίκεντρο της ανακάλυψης της μεθόδου επίλυσης κυβικών εξισώσεων κατά τον 16ο αιώνα, ένα πρόβλημα που απασχολούσε τους μαθηματικούς για αιώνες.

---

Ιστορικό Πλαίσιο

Στην Ιταλία του 16ου αιώνα, οι μαθηματικοί συχνά μονομαχούσαν δημόσια με προβλήματα για να αποδείξουν την ανωτερότητά τους. Οι κυβικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις της μορφής:

🧠 Ακολουθίες Τετραγώνων και Μια Άγνωστη Παράσταση

Αν $$\begin{array}{r}{x}_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7=1\\ 4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7=12\\ 9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7=123.\end{array}$$ υπολογίστε την τιμή της παράστασης $$L=16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7.$$

📚 Σχέδιο Μαθήματος: Επίλυση Εξίσωσης 2ου βαθμού ax2+bx+c=0

Επίπεδο: Γυμνάσιο (13–15 ετών)

Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα ⏳

---

🎯 Στόχοι Μαθήματος

• Οι μαθητές να κατανοήσουν τη διαδικασία επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού.

• Να μπορούν να εφαρμόζουν τη μέθοδο της ολοκλήρωσης του τετραγώνου και τη διακρίνουσα.

• Να αναπτύξουν δεξιότητες επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.

Πιο απλά κινέζικα

Να απλοποιηθεί η παράσταση:

Απλοποιώντας τις Τετραγωνικές Ρίζες

Έστω $a$ και $b$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2\ge b$. Ποια από τις παρακάτω εκφράσεις είναι ίση με την: $$\sqrt{{\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}?$$ 

A) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a+b}{2}}}$ 

B) $\sqrt{a-\sqrt{b}}$ 

Γ) $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ 

Δ) $\sqrt{\sqrt{a}+b}$ 

E) Κανένα από αυτά 

🛒 ΣΕΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «Η Άλγεβρα στο Σούπερ Μάρκετ»

Τάξη: Β’ Γυμνασίου

Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες

Γνωστικό αντικείμενο: Άλγεβρα – Εκφράσεις, Εξισώσεις, Εξαρτημένες & Ανεξάρτητες Μεταβλητές

Κεντρική ιδέα: Η καθημερινή αγορά κρύβει εξισώσεις και αλγεβρικές σχέσεις!

---

🎯 Διδακτικοί Στόχοι

Με το πέρας του μαθήματος, οι μαθητές θα μπορούν να:

• Εκφράζουν καταστάσεις με αλγεβρικές παραστάσεις.

• Επιλύουν εξισώσεις πρώτου βαθμού.

• Ερμηνεύουν μεταβλητές σε πραγματικό πλαίσιο.

Visualizing the way to see complex roots of a quadratic equation (Geogebra)

Εύρεση ριζών εξίσωσης

Δίνονται οι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,a_3$​ και $b$. Δεδομένου ότι η εξίσωση: 

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b$ 

έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες $c_1,c_2,c_3$, να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης:

$(x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b.$

Kvant 2023,3

[65] - Algebraic Systems for and from Contests

Κλασματική και εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Το Λήμμα του Titu

Το Λήμμα του Titu (ή Ανισότητα του Titu) είναι μια άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και δηλώνει:

Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1,a_2,\dots ,a_n$ και $b_1,b_2,\dots ,b_n$ με $b_i>0$, ισχύει: $$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{b}_i}.$$

Η ανισότητα προκύπτει από την Cauchy-Schwarz για τις ακολουθίες $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ και $(\sqrt{b_1},\sqrt{b_2},\dots ,\sqrt{b_n})$: $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\sqrt{b_i}\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right).$$ Διαιρώντας και στα δύο μέλη με $\sum b_i$, προκύπτει η ανισότητα του Titu. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν, υπάρχει σταθερά $k$ τέτοια ώστε: $$\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}=\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}=\cdots =\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}.$$

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [14-19]

14. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{A{\alpha }^4}{\pi -A}}+{\displaystyle \frac{B{\beta }^4}{\pi -B}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }{\gamma }^4}{\pi -\mathrm{\Gamma }}}\ge 8E$$ 15. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{{\beta }^8({\gamma }^4+{\alpha }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{{\beta }^8({\alpha }^4+{\beta }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2R^2}}$$

 

16. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^5}{2\alpha +\beta +\gamma }}+{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta ){\beta }^4}{{\gamma }^4}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge 8E^2$$ 17. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^2}{\lambda +\mu }}+{\displaystyle \frac{\lambda {\beta }^2}{\mu +\kappa }}+\frac{\mu {\gamma }^2}{\kappa +\lambda }\ge 2E\sqrt{4-{\displaystyle \frac{2\rho }{R}}}\ge 2E\sqrt{3}$$

Απόδειξη Ιδιότητας των Ριζών Τριωνύμου

Η εξίσωση $a{x}^2+bx-a=0$ έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$. Να αποδείξετε ότι $${\displaystyle \frac{x_1^2+1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_2}}=0(a\ne 0).$$

Διαγνωστικό Τεστ Άλγεβρας για τον Λογισμό (Ian Stewart)

1. Υπολογίστε κάθε παράσταση χωρίς τη χρήση υπολογιστή:

(α) $(-3{)}^4$

(β) $-3^4$

(γ) $3^{-4}$

(δ) ${\displaystyle \frac{5^{23}}{5^{21}}}$

(ε) ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-2}$

(στ) ${16}^{-3/4}$

2. Απλοποιήστε κάθε παράσταση. Γράψτε την απάντησή σας χωρίς αρνητικούς εκθέτες.

(α) $\sqrt{200}-\sqrt{32}$

(β) $(3a{b}^2)(4a{b}^2{)}^2$

(γ) ${\left({\displaystyle \frac{3x^{3/2}{y}^3}{x^2{y}^{-1/2}}}\right)}^{-2}$

Κατανομή ριζών σε διαστήματα

Να διερευνήσετε πώς κατανέμονται οι ρίζες της εξίσωσης $$(x^2-x\tan v{)}^2\cdot x^2-\frac{1}{4{\cos }^{6}v}=0$$ στα διαστήματα $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,\tan v)$ και $(\tan v,\mathrm{\infty })$, όταν $v$ είναι οξεία γωνία.