Θεώρημα του Πτολεμαίου: Η Σχέση Πλευρών και Διαγωνίων

Θεώρημα του Πτολεμαίου

Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο (δηλαδή τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές ανήκουν σε έναν κύκλο), το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των αντίθετων πλευρών ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων. 

Δηλαδή, αν έχουμε ένα κυκλικό τετράπλευρο με πλευρές $a,b,c,d$ και διαγώνιες $e,f$, τότε: $$a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f.$$

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Θεώρημα Monsky

Ένα τετράγωνο μπορεί να χωριστεί σε άρτιο αριθμό τριγώνων ίσου εμβαδού — αλλά όχι σε περιττό αριθμό.

Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος μέσω Γεωμετρικής Σειράς – Η απόδειξη του Arioni

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μία από τις πιο γνωστές σχέσεις στα Μαθηματικά: $a^2+b^2=c^2$. Ανά τους αιώνες έχουν δοθεί πάνω από 400 διαφορετικές αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε μία λιγότερο γνωστή αλλά ιδιαίτερα εντυπωσιακή απόδειξη που βασίζεται στη γεωμετρική σειρά. 

Το Γεωμετρικό Μοντέλο

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$, με $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$, $AB=a$, $AC=b$, και υποτείνουσα $BC=c$. Το τρίγωνο διαμερίζεται σε άπειρα τρίγωνα, τα οποία εναλλάσσονται σε χρώμα και μέγεθος, όπως φαίνεται στην πιο πάνω εικόνα. 

Θεώρημα Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein

«Δύο πολύγωνα της ίδιας επιφάνειας μπορούν να μετασχηματιστούν το ένα στο άλλο μέσω πεπερασμένης πολυγωνικής ανατομής.»

— Θεώρημα Lowry–Wallace–Bolyai–Gerwien

 Ανατομή πέντε οκταγώνων για να σχηματιστεί ένα.

---

🔺 Η μαγεία της γεωμετρικής αποσυναρμολόγησης

Το θεώρημα αυτό αποτελεί μία από τις πιο κομψές εκφράσεις της ευκλείδειας γεωμετρίας: αποδεικνύει πως δύο πολύγωνα με ίση επιφάνεια μπορούν να τεμαχιστούν σε πεπερασμένα ευθύγραμμα κομμάτια και να επανασυναρμολογηθούν ώστε να σχηματίσουν το ένα το άλλο.

Water proof of Pythagoras' Theorem

Viviani’s Theorem

Fermat's Last Theorem

 

Maximal Properties of the Pythagorean Relation

Rectangles cut off from a right triangle leave three triangles with inradii $r_1,r_2,r_3$, in the increasing order. 

Show that when the area of the rectangle is a maximum possible then $$r_1^2+r_2^2=r_3^2.$$

Solution

Proof without word: Pythagore (Geogebra)

Click on the image.

Θεώρημα Steiner-Lehmus

ΘΕΏΡΗΜΑ

Αν σε ένα τρίγωνο δύο διχοτόμοι του είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ οι διχοτόμοι $B{\Delta }_B$ και $\Gamma {\Delta }_{\Gamma }$ είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με $AB=A\Gamma$.

Διαβάστε περισσότερα »

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε 60 δευτερόλεπτα

Interactive applet: The Sandwich Theorem (or the Squeeze Theorem)

Click on the image.

Το Θεώρημα του Νικομάχου

Τι λέει το Θεώρημα του Νικομάχου;

Το θεώρημα του Νικομάχου αναφέρει ότι το άθροισμα των κύβων των πρώτων $n$ φυσικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του αθροίσματός τους.

Μαθηματικά, εκφράζεται ως:

$$1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

Παράδειγμα:

Για τους πρώτους 4 φυσικούς αριθμούς:

• Οι κύβοι τους είναι: $1^3,2^3,3^3,4^3$, δηλαδή $1,8,27,64$

Η Ομορφιά της Σπειροειδούς Ομοιότητας!

Η σπειροειδής ομοιότητα συνδυάζει δύο θεμελιώδεις γεωμετρικές λειτουργίες: την περιστροφή και την κλίμακα (μεγέθυνση/μείωση).

Μέσω αυτής, μπορούμε να μετατρέψουμε σχήματα στο επίπεδο με έναν εντυπωσιακό τρόπο. Στο παράδειγμα, το τρίγωνο $ABC$ μετασχηματίζεται στο τρίγωνο $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ με κέντρο το σημείο $O$.

Θεώρημα

Κάθε δύο σχήματα που είναι όμοια μεταξύ τους συνδέονται είτε με μεταφορά, είτε με σπειροειδή ομοιότητα.

Αυτός ο τύπος ομοιότητας βρίσκει εκτεταμένη χρήση σε γεωμετρικές αποδείξεις και μαθηματικούς διαγωνισμούς, αναδεικνύοντας την ισχύ του στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων!

Zsigmondy’s Theorem

 

Mathematical Excalibur, V.16/4

Προβολική Γεωμετρία: Το Θεώρημα του Poncelet

Το Θεώρημα του Πονσελέ (Poncelet's Porism) είναι ένα συναρπαστικό αποτέλεσμα της προβολικής γεωμετρίας, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ. 

Αφορά την ύπαρξη πολυγώνων με σταθερό αριθμό πλευρών, τα οποία μπορούν να εγγραφούν σε μία κωνική τομή (όπως έλλειψη ή υπερβολή) και ταυτόχρονα να περιγραφούν γύρω από μία άλλη κωνική τομή.

Το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

Το Θεώρημα των Τεσσάρων Τετραγώνων του Lagrange

Το Θεώρημα των Τεσσάρων Τετραγώνων του Lagrange δηλώνει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. 

Συγκεκριμένα, για κάθε φυσικό αριθμό $n$, υπάρχουν ακέραιοι $a_1,a_2,a_3,a_4$ ώστε:$$n=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2.$$

Το θεώρημα του Wilson

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, τότε $$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

See three proofs of theorem here.

Το Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem) και η Χρήση του

Το Κριτήριο Παρεμβολής, γνωστό και ως Squeeze Theorem, αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων σε περιπτώσεις όπου η άμεση αντικατάσταση αποτυγχάνει. 

Σε αυτό το άρθρο, θα εξηγήσουμε το θεώρημα μέσα από ένα απλό παράδειγμα και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στην απόδειξή του. Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής για να υπολογίσουμε το όριο:$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

Το Θεώρημα του Viviani: Το Άθροισμα των Καθέτων σε Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, επιλέξτε ένα εσωτερικό σημείο $P$ και φέρτε τις κάθετες από το $P$ προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων ισούται με το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Viviani.

Μια οπτική απόδειξη, που προτάθηκε από τον CMG Lee, έχει ως εξής: 

Από το σημείο $P$, χαράξτε τρεις ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου $ABC$. Αυτές οι ευθείες δημιουργούν τρία μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα.