Eμβαδόν κυρτού εξαγώνου

Δίνονται δύο κύκλοι ${\omega }_1$​ και ${\omega }_2$​, οι οποίοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι, με κέντρα τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, αντίστοιχα. Ένας τρίτος κύκλος $\mathrm{\Omega }$ διέρχεται από τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, και τέμνει:

• τον κύκλο ${\omega }_2$ στα σημεία $A$ και $D$,
• τον κύκλο ${\omega }_1$​ στα σημεία $B$ και $C$.

Όλα τα σημεία $A,B,C,D,O_1,O_2$​ βρίσκονται πάνω στον κύκλο $\mathrm{\Omega }$, και σχηματίζουν το κυρτό εξάγωνο $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

Εάν ισχύουν:

• $AB=2$,
• $CD=16$,
• $O_1{O}_2=15$,

τότε να βρείτε το εμβαδόν του κυρτού εξαγώνου $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

AIME 2022

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Κύκλοι Φιλιών: Η Γεωμετρία που Φιλά με Ακρίβεια

Υπάρχουν δύο κύκλοι που εφάπτονται (ένας εσωτερικά και ένας εξωτερικά) σε τρεις αμοιβαία εφαπτόμενους κύκλους: αυτοί είναι οι κύκλοι του Soddy, τους οποίους ποιητικά ονόμασε «κύκλους φιλιού». 

Αυτοί οι κύκλοι δεν είναι μόνο γεωμετρικά υπέροχοι, αλλά και μαθηματικά μαγικοί, αφού συνδέονται με μια εκπληκτική εξίσωση που αποδίδεται στον René Descartes.

Η Εξίσωση του Descartes

Peacock's Tail Sangaku

In a circle of diameter $2R$, draw two tangent arcs of radius $R$, and then ten inscribed circles, two of diameter $R$, four red of radius $t$ and four blue of radius $t^{\prime }$. 

Show that $$t=t^{\prime }={\displaystyle \frac{R}{6}}.$$Solution

Νότιος πόλος και κατασκευή

Στο σχήμα οι κύκλοι $K_1\kappa \alpha \iota K_2$ τέμνονται στα $C,D$ εφάπτονται εσωτερικά σε κύκλο $\mathrm{\Omega }$ και στη χορδή $AB$ του $\mathrm{\Omega }$. 

α) Δείξετε ότι η ευθεία $CD$ διέρχεται από το νότιο πόλο, $S$ του $\mathrm{\Omega }$. 

β) Με τη βοήθεια του προηγουμένου συμπεράσματος ή αλλιώς πως θα κατασκευάζατε γεωμετρικά, το πιο πάνω σχήμα;

Πηγή: mathematica

Δύο τετράγωνα + κύκλος

Η ακτίνα του κύκλου στο παρακάτω σχήμα είναι $4$. Να βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων.

Τρεις κύκλου

Οι κύκλοι στο παρακάτω σχήμα έχουν ακτίνα $1$. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου.

Γενίκευση

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και μία τυχούσα χορδή $AT$ που τέμνει την πλευρά $BC$ στο $D$. 

 

Ένας άλλος κύκλος εφάπτεται στα τμήματα $BD,AD$ στα $E,N$ αντίστοιχα και εσωτερικά στον περίκυκλο του $ABC$ στο σημείο $Z$. Να δείξετε ότι $${\displaystyle CE\cdot AT=CT\cdot AN+AC\cdot NT.}$$

Πηγή: mathematica

[7] - Geometric problems from and for Μath Contests

Μέσα σε έναν μεγάλο κύκλο ακτίνας $R$, έχουν σχεδιαστεί δύο μικρότεροι κύκλοι με ακτίνες $r_1$ και $r_2$, οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους και εσωτερικά του μεγάλου κύκλου. 

Τα σημεία στα οποία οι μικρότεροι κύκλοι εφάπτονται του μεγάλου κύκλου ορίζουν το ευθύγραμμο τμήμα $AB$, το οποίο διέρχεται από το κοινό σημείο επαφής τους. 

Να αποδείξετε ότι 

$r_1+r_2=R$

και να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο.

Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Υπολογισμός του Εμβαδού σε μία Κυκλική Διάταξη

Αν η ακτίνα καθενός από τους μικρότερους κύκλους είναι $1$ cm και η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι τετραγωνική ρίζα $2$, ποιο είναι το εμβαδόν της μπλε περιοχής;

Ζητούμενο άθροισμα

Ο κύκλος ${\omega }_1$ με ακτίνα $6$ και κέντρο το σημείο $A$ είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον κύκλο ${\omega }_2$ με ακτίνα $15$ στο σημείο $B$. 

Τα σημεία $C$ και $D$ βρίσκονται στον κύκλο ${\omega }_2$ έτσι ώστε το $\overline{BC}$ να είναι διάμετρος του κύκλου ${\omega }_2$ και $\overline{BC}\perp \overline{AD}$. 

Αναγνώρισε το Θεώρημα !

Ποιο θεώρημα της Γεωμετρίας αναγνωρίζετε;

 

Street Math Problems

 

Πρόβλημα τεσσάρων κύκλων

Τρεις ίσοι κύκλοι, καθένας ακτίνας $1$, σχεδιάζονται εφαπτόμενοι μεταξύ τους και σε έναν κύκλο ακτίνας $R$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί η ακτίνα $R$ του κύκλου.

Θεώρημα των τριών κύκλων του Monge

Θεώρημα

Για τρεις κύκλους στο επίπεδο, κανένας από τους οποίους δεν περιέχεται πλήρως μέσα σε κάποιον άλλο, τα σημεία τομής των ζευγών των εξωτερικών κοινών εφαπτόμενων βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Δηλαδή, αν σχεδιάσουμε τις δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες για κάθε ζεύγος κύκλων, τότε τα σημεία τομής αυτών των εφαπτόμενων ανήκουν σε μια ευθεία.

Η γεωμετρία των τεσσάρων + 1 κύκλων

Τέσσερις ίσοι κύκλοι εφάπτονται ανά δύο μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται εσωτερικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο.

Να βρεθεί ο λόγος της ακτίνας του μεγάλου κύκλου προς την ακτίνα των μικρότερων κύκλων;

Malfatti Circles

Malfatti Circles

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές μήκους $1$. Ένας κύκλος εγγράφετι στο εσωτερικό του. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου.

Μεσοτοιχία

Έστω $I,O$ το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου $ABC$ και $E$ το σημείο όπου η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο. 

Αν $I^{\prime }$ είναι το συμμετρικό του $I$ ως προς την $BC$ και η $E{I}^{\prime }$ τέμνει τον κύκλο στο $F$, να δείξετε ότι η $OI$ διέρχεται από το μέσο $M$ της $AF$.

Πηγή: mathematica

Κεντρικός Δίσκος ή Εξωτερικός Δακτύλιος;

Ποια από τις δύο χρωματισμένες περιοχές είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος (κίτρινος) ή ο εξωτερικός δακτύλιος (πορτοκαλί); Παραδόξως, είναι ίσοι. Καθένας από τους ομόκεντρους κύκλους έχει ακτίνα $1$ μονάδα μεγαλύτερη από τον τελευταίο.

Άρα το εμβαδόν του κεντρικού δίσκου είναι $\pi \times 3^2$ τ.μ και το εμβαδόν του εξωτερικού δακτυλίου είναι 

$\pi \times 5^2–\pi \times 4^2=\pi \times 3^2$ τ.μ. 

Άρα οι δύο τομείς είναι ίδιοι.