Εύρεση Διαστήματος όπου Συνάρτηση Μηδενίζεται

Έστω 

$f(x)=x^3+x^2-4x-4$ 

και ορίζουμε τη συνάρτηση 

$g(x)=f(x)-\sqrt{(f(x){)}^2}$. 

Για ποιο από τα παρακάτω διαστήματα ισχύει $g(x)=0$ για όλες τις τιμές του $x$ στο διάστημα;

 (A) $[-1,2]$ 

(B) $[2,4]$ 

(C) $[-2,2]$ 

(D) Όλα τα παραπάνω 

E) Κανένα από αυτά

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 21/4/2025

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[0,1]$. Aν $$g(x)={\int }_x^1\frac{f(t)}{t}dt$$ να αποδείξετε ότι $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx.$$

Γραφική παράσταση συνάρτησης Γάμμα

H συνάρτηση Γάμμα (Gamma Function), γνωστή και ως ολοκλήρωμα δεύτερου είδους του Euler, αποτελεί μια εντυπωσιακή γενίκευση του παραγοντικού σε μη ακέραιες και μάλιστα μιγαδικές τιμές.

Η συνάρτηση εισήχθη για πρώτη φορά από τον Leonhard Euler τον 18ο αιώνα, ως μέσο επέκτασης του παραγοντικού σε μη ακέραιες τιμές. Αργότερα, ο Adrien-Marie Legendre ήταν αυτός που καθιέρωσε το σύμβολο $\mathrm{\Gamma }$, και η συνάρτηση πήρε τη μορφή που γνωρίζουμε σήμερα.

Μια Ιδιόμορφη Συναρτησιακή Ιδιότητα

Έστω ${\mathbb{R}}^{+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών και έστω $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ μια συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες 

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{2025}}$ 

και 

$f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ 

για όλους τους $x,y\in {\mathbb{R}}_{>0}$. 

Υπολογίστε την τιμή του $f(2026)$. 

(A) ${\displaystyle \frac{1}{2026}}$ 

(B) ${\displaystyle \frac{2}{2025}}$ 

(C) ${\displaystyle \frac{1}{2025\cdot 2026}}$ 

(D) ${\displaystyle \frac{1}{{2025}^2}}$ 

(E) Κανένα από αυτά 

Ποιο είναι το σωστό γράφημα;

Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις είναι η άπειρη σειρά που αποτελείται από δυνάμεις συναρτήσεων του ημιτόνου.

 

Η Συνάρτηση του Weierstras: Το "Τέρας" που Άλλαξε τα Μαθηματικά

Η συνάρτηση του Βάιερστρας, που πήρε το όνομά της από τον Καρλ Βάιερστρας, είναι μια μαθηματική επανάσταση: συνεχής παντού, αλλά πουθενά διαφορίσιμη! 

Δημοσιευμένη το $1872$, αυτή η μορφοκλασματική (φράκταλ) καμπύλη αμφισβήτησε την πεποίθηση ότι κάθε συνεχής συνάρτηση είναι διαφορίσιμη, ανατρέποντας θεμελιώδεις αντιλήψεις της εποχής.

Πολυεπίπεδη Ρητή Συνάρτηση

Η συνάρτηση 

$f(x)=x+{\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x+{\displaystyle \frac{a}{x}}}}+{\displaystyle \frac{c}{x+{\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x+{\displaystyle \frac{a}{x}}}}}}$

ορίζεται για $x>0$. 

Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης όταν 

α) $a=4,b=16,c=64$ 

 β) $a=4,b=36,c=64$ 

γ) Πώς αλλάζει η ελάχιστη τιμή, όταν το $b$ μεταβάλλεται για $a=4<b<c=64$;

Μια Αναδρομική Συνάρτηση και οι Τιμές της

Για τη συνάρτηση $f(x,y)$, που ορίζεται για όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους $x$ και $y$, ισχύουν:

• $f(0,y)=y+1$
• $f(x+1,0)=f(x,1)$
• $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$

Να βρεθούν οι τιμές 

$f(2,2)$ και $f(3,3)$.

Εύρεση Ισότητας μέσω Ανισοτήτων

Austrian - Polish Math Competition 1994

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [104]

Έστω η πραγματική συνάρτηση $f$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[0,1]$
• $f(0)=f(1)=0$.
  

α) Αν $f(x)\ne 0$ για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι ο λόγος ${\displaystyle \frac{f^{\prime }}{f}}$ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, όταν $x\in (0,1)$.

β) Αν $|f^{\prime }(x)|\le 1$ για κάθε $x\in [0,1]$, να αποδειχθεί ότι:$${\int }_0^{1}x|f(x)|dx\le {\displaystyle \frac{1}{8}}.$$

Επιπλέον, να διερευνηθεί αν μπορεί να ισχύει ισότητα.

Η τιμή της συνάρτησης στο - 1

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [102]

Έστω ${\rm M}$ το σύνολο όλων των συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $f(0)=0$ και $f(1)=1$. 

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός $A$ έτσι ώστε $${\int }_0^1|f^{\prime }(x)-2xf(x)|dx\ge A.$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [101]

Δίνεται ότι 

$f(x)+f(x+1)=3$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Αν 

$\{\begin{array}{l}a={\int }_0^{8}f(x)dx\\ b={\int }_{-1}^{3}f(x)dx\end{array}$ 

να βρεθεί το άθροισμα 

${\rm I}=a+2b$.

Πολυώνυμο πέμπτου βαθμού

Να βρεθεί πολυώνυμο $f(x)$ πέμπτου βαθμού, τέτοιο ώστε:

• $f(x)+1$ να είναι διαιρετό με $(x-1{)}^3$, και
• $f(x)-1$ να είναι διαιρετό με $(x+1{)}^3$.

Δίνεται η ένδειξη ότι η παράγωγος του πολυωνύμου, $f^{\prime }(x)$, περιλαμβάνει τον παράγοντα $(x^2-1{)}^2$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [101]

Η συνάρτηση $f(x)$ ορίζεται και είναι συνεχής στο διάστημα $0\le x\le 1$. Αν για τη συνάρτηση ισχύει $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{f}^2(x)dx=1$$

Nα βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις $f(x)$.

2017η Παράγωγος

Να βρεθεί η $2017$η παράγωγος της συνάρτησης $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^3-x}.$$

Η συνάρτηση γάμμα και οι βασικές της ιδιότητες

@Calculus Canvas

Σύνθεση Συναρτήσεων: Να βρεθεί η τιμή (11)

 

Φθίνουσες Συναρτήσεις σε Σχέση

Να βρεθούν όλες οι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ που ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση: $$f(xf(y))=yf(x)$$ για κάθε $x,y>0$.

📚 Σενάριο Μαθήματος: Η Μονοτονία μιας Συνάρτησης με Βάση τον Ορισμό

📅 Ημερομηνία: 9 Μαρτίου 2025

⏳ Διάρκεια: 50 λεπτά

🎯 Στόχος: Οι μαθητές να κατανοήσουν και να εφαρμόσουν τον ορισμό της μονοτονίας για τον έλεγχο συναρτήσεων.

---

1️⃣ Εισαγωγή (10 λεπτά)

👨‍🏫 Εκπαιδευτικός: "Καλημέρα παιδιά! 🌞 Φανταστείτε ότι ανεβαίνετε μια σκάλα. 🏃‍♂️⬆️ Κάθε βήμα σας πηγαίνει πιο ψηλά, σωστά; Αυτή η κίνηση μοιάζει με κάτι που θα δούμε σήμερα: τη μονοτονία μιας συνάρτησης. 🧩 Ποιος μπορεί να μου πει τι σημαίνει όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι 'γνήσια αύξουσα';"