Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [20]

 Toυ Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt[3]{x^4}+\frac{4x}{3}+e^{\lambda }-1,& \text{αν }x\le 0\\ x\ln x+\lambda ,& \text{αν }x>0\end{array}$$$\text{ με }\lambda \in \mathbb{R}.$ 

Γ1. Να αποδείξετε ότι $\lambda =0$.

Γ2. Να βρείτε: 

α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$. 

β) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

Γ3. Να αποδείξετε ότι: 

α) Η $f$ είναι κυρτή στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$. 

β) $f(x)\ge -1$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. 

Γ4. Ένα σημείο $M(a,f(a))$ ξεκινάει από το σημείο $A(1,f(1))$ και κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου $M$ δίνεται από τον τύπο 

$a^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{2^t\cdot \ln 4+1}{2}}$ μονάδες/sec 

για κάθε $t\ge 0$. 

α) Να βρείτε σε πόσα δευτερόλεπτα το σημείο $M$ θα βρίσκεται στο σημείο $B(5,f(5))$. 

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$, του άξονα $x^{\prime }x$ και της ευθείας $x=a$, μετά από $2$ δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Διαγώνισμα προσομοίωσης 2025 (με τις λύσεις) [4]

Του Ιωάννη Σαλαμάνη - 3ο Λύκειο Γιαννιτσών

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [110]

Να βρεθεί η διαφορά ${\rm A}-{\rm B}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [108]

Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων η ευθεία $y=mx$, η καμπύλη $y=x^2$ και η ευθεία $y=2x$ οριοθετούν δύο περιοχές.

Το εμβαδόν της περιοχής${{\rm A}}_1$, είναι επταπλάσιο της ${{\rm A}}_2$. Σύμφωνα με αυτό, ο αριθμός $m$ ισούται με: 

Α) $3$      Β) $4$      Γ) $5$      Δ) ${\displaystyle \frac{7}{2}}$      E) ${\displaystyle \frac{9}{2}}$ 

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [19]

 Της Ντίνας Ψαθά  

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:A=(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση

$$x{f}^{\prime }(x)+e^{-f(x)}=0,\text{ για κάθε }x\in A.$$

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο $M(1,f(1))$ είναι παράλληλη στη διχοτόμο της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων.

$\mathrm{\Delta }$1. Να δείξετε ότι 

$f^{\prime }(x)=ln(1-lnx),x\in A$.

$\mathrm{\Delta }$2.

i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$.

ii. Να δείξετε ότι ορίζεται και να ορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Διαγώνισμα προσομοίωσης 2025 [3]

 Του Γιάννη Τσόπελα - 1ο ΓΕΛ Αμαλιάδας  

Δείτε τις λύσεις του διαγωνίσματος εδώ.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [18]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με τύπο 

$f(x)={\displaystyle \frac{a{e}^x+x}{e^x}}$, $a\in \mathbb{R}$

της οποίας το σύνολο τιμών είναι το $f(\mathbb{R})=(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{e+1}{e}}]$. 

$\mathrm{\Delta }$1. Να δείξετε ότι $a=1$. 

$\mathrm{\Delta }$2. Να δείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(-1,0)$. 

$\mathrm{\Delta }$3. Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x)=f(\ln 2)$ 

έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις $x_1=\ln 2$ και $x_2=\ln 4$. 

$\mathrm{\Delta }$4. Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση $g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με τύπο 

$g(x)=f(\ln x)\cdot {\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$. 

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x={\displaystyle \frac{1}{e}}$ και $x=1$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [107]

Στο καρτεσιανό επίπεδο, το γράφημα της συνάρτησης $y=f(x)$ τέμνει τις ευθείες $y=b$, $x=a$, τον άξονα $x^{\prime }x$, και την ευθεία $x=-1$. Έστω ότι τα εμβαδά των περιοχών που περικλείονται είναι $A,B,C,D$. 

Δίνονται οι σχέσεις: 

$3A=5B=2C$ και $D=2B$.  

Επίσης, δίνεται ότι: 

${\int }_{-1}^{a}f(x)dx=42$. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 

 $K=(a+1)b$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [22]

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: 

• $2f(x)>x+1$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 
• $f^2(x)+(4-x)f(x)=12-x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 

α) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$, στο κοινό της σημείο με τον άξονα $y^{\prime }y$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 

γ) Θεωρούμε ότι η ευθεία $y=\lambda x+\beta$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$ στο $-\mathrm{\infty }$. Να αποδείξετε ότι $\lambda =0$, $\beta =1$ και ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $f(A)=(1,+\mathrm{\infty })$. 

δ) Να βρείτε το 

$\underset{x\to 12}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-x+4}{x-12}}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [21]

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\to \mathbb{R}$, με 

$f(x)=\sqrt{\epsilon \varphi x}$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1+f^4(x)}{2f(x)}}$, $x\in (0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ 

και να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται, να υπολογίσετε το όριο 

$\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(1)}{x-1}}$ 

και να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f^{-1}}$, στο σημείο $(1,f^{-1}(1))$. 

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x)=f^4(x)$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=0$ και $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Διαγώνισμα προσομοίωσης 2025 [2]

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [17]

 Του Δημήτρη Ουντζούδη  

Δίνεται η συνάρτηση $f:(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\to \mathbb{R}$ με $$f(x)=\kappa \eta \mu x-x$$

όπου $\kappa >1$ σταθερός πραγματικός αριθμός. 

α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του $\kappa >1$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής. 

β) i) Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά $x_1,x_2\in (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ με $x_1<x_2$, τέτοια ώστε η $f$ να παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο $x_1$ και τοπικό μέγιστο στο $x_2$. 

ii) Να δείξετε ότι τα σημεία $A(x_1,f(x_1))$ και $B(x_2,f(x_2))$ είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων. 

γ) Αν $x_2$ είναι ο αριθμός που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος μέσης τιμής της συνάρτησης

 $g(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$, $\alpha \ne 0$ 

στο διάστημα $[0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}]$ και η απόσταση των τιμών των τοπικών ακροτάτων είναι $2\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, τότε να δείξετε ότι $x_2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ και $\kappa =2$. 

δ) Να αποδείξετε ότι: 

${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+1}dx<{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}{3}}.$

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 21/4/2025

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[0,1]$. Aν $$g(x)={\int }_x^1\frac{f(t)}{t}dt$$ να αποδείξετε ότι $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx.$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [20]

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ${\mathbb{R}}^{\ast }$ και ικανοποιεί τη σχέση: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-f(x)}{x}\text{για κάθε }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$

Να αποδείξετε ότι: 

α) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$ 

β) Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ και ότι η ευθεία $(ϵ)$ με εξίσωση $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$ στο κοινό σημείο με τον άξονα $y^{\prime }y$. 

γ) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. 

δ) Η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Διαγώνισμα προσομοίωσης 2025 [1]

 

Κάντε κλικ στην εικόνα. 

Το iPaidia.gr σε συνεργασία με τα φροντιστήρια Αξία, δημοσιεύει προτεινόμενα θέματα και απαντήσεις για τα πανελλαδικώς εξεταζόμενα μαθήματα, που αποσκοπούν στην καλύτερη προετοιμασία των υποψηφίων.

Δείτε τις λύσεις εδώ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Όλα τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων ομαδοποιημένα 2016 -2024

Τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων από το 2016 και μετά ομαδοποιημένα σε Β’, Γ’ και Δ’ θέματα.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 

• Β’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.
• Γ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.
• Δ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 

• Β’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.
• Γ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.
• Δ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.

Ομαδοποιήση των Θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων

• Πράξεις, σύνθεση συναρτήσεων και αντίστροφη συνάρτηση.
• Ρυθμός μεταβολής.
• Θέματα με συναρτήσεις πολλαπλού τύπου.
• Εμβαδόν επίπεδου χωρίου.
• Γεωμετρικά ερωτήματα.

Πηγή: esiros

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Διαγώνισμα προσομοίωσης, Απρίλιος 2025

 Tου Βαασίλη Μπακούρου  

Πηγή: bakouros.gr

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου: Τα θέματα και οι απαντήσεις των Πανελλαδικών εξετάσεων 2024 σε διαδραστική μορφή

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [15]

 Του Νίκου Σούρμπη  

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [5]

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν: 

$\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)(x-1)}{\ln x}}=0$

και

$f^{\prime }(x)=\sqrt{x^2+1},\text{ για κάθε }x\in \mathbb{R}.$ 

α) i. Να υπολογίσετε το 

$\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}}.$ 

ii. Να αποδείξετε ότι $f(1)=0$. 

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία ακριβώς ρίζα. 

γ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης $f$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου $E$, που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=0$ και $x=1$.