Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος μέσω Γεωμετρικής Σειράς – Η απόδειξη του Arioni

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μία από τις πιο γνωστές σχέσεις στα Μαθηματικά: $a^2+b^2=c^2$. Ανά τους αιώνες έχουν δοθεί πάνω από 400 διαφορετικές αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε μία λιγότερο γνωστή αλλά ιδιαίτερα εντυπωσιακή απόδειξη που βασίζεται στη γεωμετρική σειρά. 

Το Γεωμετρικό Μοντέλο

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$, με $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$, $AB=a$, $AC=b$, και υποτείνουσα $BC=c$. Το τρίγωνο διαμερίζεται σε άπειρα τρίγωνα, τα οποία εναλλάσσονται σε χρώμα και μέγεθος, όπως φαίνεται στην πιο πάνω εικόνα. 

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Water proof of Pythagoras' Theorem

Maximal Properties of the Pythagorean Relation

Rectangles cut off from a right triangle leave three triangles with inradii $r_1,r_2,r_3$, in the increasing order. 

Show that when the area of the rectangle is a maximum possible then $$r_1^2+r_2^2=r_3^2.$$

Solution

Proof without word: Pythagore (Geogebra)

Click on the image.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε 60 δευτερόλεπτα

ΒΙΒΛΙΟ: The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics (pdf)

Click on the image.

Οι Μέθοδοι Δημιουργίας Πυθαγορείων Τριάδων: Πυθαγόρας και Πλάτων

Οι Πυθαγόρεις τριάδες, οι αριθμοί δηλαδή, που ικανοποιούν τo Πυθαγόρειo Θεώρημα 

$a^2+b^2=c^2$

έχουν αποσπάσει την προσοχή των μαθηματικών για αιώνες. Δύο ιδιαίτερες μέθοδοι, εύρεσης τους, του Πυθαγόρα και του Πλάτωνα, 

χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία αυτών των τριγώνων και φέρνουν στην επιφάνεια τον μαθηματικό πλούτο που κρύβεται πίσω από τις αριθμητικές τους σχέσεις.

1. Μέθοδος του Πυθαγόρα (Από Περιττούς Αριθμούς)

Πυθαγόρειες Τριάδες: Ιδιότητες και Χαρακτηριστικά

Οι Πυθαγόρειες τριάδες είναι σύνολα τριών θετικών ακεραίων (α, β, γ) που ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα:

${\alpha }^2+{\beta }^2={\gamma }^2$.

Ακολουθούν ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά τους:

Γενικός Τύπος:

• Ένας γενικός τύπος για την εύρεση Πυθαγορείων τριάδων είναι:
  • $\alpha =m^2-n^2$
  • $\beta =2mn$
  • $\gamma =m²+n²$
  • Όπου $m$ και $n$ είναι θετικοί ακέραιοι με $m>n$.
  • Εάν οι $m$ και $n$ έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη $1$ και δεν είναι και οι δύο περιττοί, τότε η τριάδα θα είναι πρωταρχική.

Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος με Αλγεβρική Προσέγγιση

Οι αριθμοί $a,b,$ και $c$ καλούνται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει $a^2+b^2=c^2$. Έστω $a$ ένας περιττός θετικός ακέραιος και ότι οι $$b=\lfloor \frac{a^2}{2}\rfloor \text{και}c=\lceil {\displaystyle \frac{a^2}{2}}\rceil$$ είναι οι στρογγυλοποιημένες προς τα κάτω και προς τα άνω, αντίστοιχα, ακέραιες τιμές του ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$. 

Δείξτε ότι $a^2+b^2=c^2$.

(Υπόδειξη: Θέστε $a=2n+1$ και εκφράστε τα $b$ και $c$ συναρτήσει του $n$.)

Απέδειξε ο Αϊνστάιν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα 12 του χρόνια;

Υπάρχει ένας δημοφιλής ισχυρισμός ότι ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, σε ηλικία $12$ ετών, βρήκε μια νέα απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Αυτή η ιστορία κυκλοφορεί συχνά ως παράδειγμα της μαθηματικής ιδιοφυΐας του μεγάλου φυσικού. Όμως, πόσο αλήθεια είναι;

Η απόδειξη που αποδίδεται στον Αϊνστάιν

Η συγκεκριμένη απόδειξη βασίζεται στη γεωμετρία και είναι οπτικά απλή. Ουσιαστικά, διαχωρίζει ένα τετράγωνο σε τέσσερα όμοια ορθογώνια τρίγωνα και ένα μικρότερο τετράγωνο, οδηγώντας στο γνωστό αποτέλεσμα: $a^2+b^2=c^2$.

Από το Θεώρημα στη Θάλασσα: Το Πυθαγόρειο

Η γραφική πόλη Πυθαγόρειο, φωλιασμένη στο νότιο τμήμα του ελληνικού νησιού της Σάμου, φέρει περήφανα το όνομα του μεγάλου μαθηματικού και φιλοσόφου Πυθαγόρα, ο οποίος γεννήθηκε εδώ πριν από αιώνες.

Στο λιμάνι της πόλης δεσπόζει το επιβλητικό άγαλμα του Πυθαγόρα, ένας φόρος τιμής στον άνθρωπο που χάρισε στον κόσμο το διάσημο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πέρα από την ιστορική της σημασία, η πόλη ξεχωρίζει για τη γοητευτική αρχιτεκτονική της, τα γραφικά σοκάκια και τη μαγευτική θέα στο Αιγαίο.

Το Πυθαγόρειο αποτελεί έναν προορισμό όπου το παρελθόν, ο πολιτισμός και η φυσική ομορφιά συνυπάρχουν αρμονικά, προσφέροντας μια αξέχαστη εμπειρία στον επισκέπτη.

THEOREM OF THE DAY: The Pythagorean Theorem

 Theorem 

Consider a triangle with angles $A,B$ and $C$ and opposite sides $a,b4and$c4, respectively. 

 

If $C={90}^{\circ }$, then 

$c^2=a^2+b^2$.

Click on the image.

Από το Τρίγωνο στο 1.618: Η Χρυσή Τομή Αποκαλύπτεται

Ο Πρόεδρος των ΗΠΑ James A. Garfield και η Απόδειξη του για το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ο James A. Garfield, ο 20ός Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών, είναι γνωστός όχι μόνο για την πολιτική του καριέρα αλλά και για την ενασχόλησή του με τα μαθηματικά πριν αναλάβει το αξίωμα του προέδρου. 

Γεννημένος στις $19$ Νοεμβρίου $1831$ στο Οχάιο, ο Garfield είχε μια πλούσια εκπαιδευτική πορεία, αποφοιτώντας από το Williams College το $1856$ και ασχολούμενος με τη διδασκαλία πριν εισέλθει στην πολιτική.

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Από την Αρχαία Ινδία στην Αυστηρή Απόδειξη του Πυθαγόρα

Στην ιστορία των μαθηματικών, το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ίσως το πιο διάσημο και γνωστό θεώρημα, που αναφέρει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. 

Σύμφωνα με το θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.

λλά τι θα λέγατε αν σας λέγαμε ότι αυτό το θεώρημα ήταν γνωστό και χρησιμοποιούμενο πολύ πριν από τον Πυθαγόρα;

Sum of Three Squares is a Square

Click on the image.

Οπτικοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος

 

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Η Εξερεύνηση του Πυθαγόρειου Δέντρου: Μια Γεωμετρική Κατασκευή

Το Πυθαγόρειο δέντρο είναι μια γεωμετρική κατασκευή που δημιουργείται μέσω της επαναλαμβανόμενης κατασκευής τετραγώνων στις πλευρές ισοσκελών ορθογωνίων τριγώνων. 

Το αρχικό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές μήκους $3$, ποιο είναι το εμβαδόν του του $2025$ου τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο Πυθαγόρειο δέντρο;

Διαδοχικά μήκη πλευρών

cos²x+sin²x =1

Πυθαγόρειο θεώρημα σε μοναδιαίο κύκλο.

Αποδείξεις χωρίς λόγια.