Ποιος αριθμός λείπει;

Ποιος είναι ο αριθμός που λείπει από την παρακάτω ακολουθία

2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, 79, ?

Ακολουθία Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στη φύση πιο συχνά από όσο θα περίμενε κανείς. η διακλάδωση των δέντρων, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, οι καρποί ενός ανανά, ακόμη και οι σπειροειδείς γαλαξίες όλα παρουσιάζουν μοτίβα Fibonacci.

Two sequences that agree for a long time

@pickover

$1209$ος όρος

Θεωρήστε την ακολουθία 

$3, 3, 2, 1, . . ..$. 

Για $n ≥ 3$, ο $n$-οστός όρος είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αθροίσματος των δύο προηγούμενων όρων με το $4$. 

Βρείτε τον $1209$ο όρο.

Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός;

Παραμετρικές εξισώσεις

Οι ρίζες της εξίσωσης 

$ax^4 +bx^2+ a = 1$ 

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι τέσσερις διαδοχικοί όροι μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου. 

Ταυτόχρονα, ένας από αυτούς τους όρους είναι επίσης μια λύση της εξίσωσης 

bx^2 +ax +a = 1.

Προσδιορίστε όλες τις πιθανές τιμές των πραγματικών παραμέτρων $a, b$.

Η ακολουθία της Ελπίδας

Η Ελπίδα επινόησε μια διαδικασία για την παραγωγή μιας αριθμητικής ακολουθίας. Ξεκίνησε με τον αριθμό $128$. Από αυτό, έβγαλε το επόμενο μέλος της ακολουθίας ως εξής: $8^2 + 5 = 64 + 5 = 69$. Στη συνέχεια συνέχισε με τον ίδιο τρόπο και από τον αριθμό $69$ πήρε $9^2 + 5 = 81 + 5 = 86$. 

Δηλαδή, παίρνει το ψηφίο των μονάδων από τον προηγούμενο όρο της ακολουθίας, το υψώνει στο τετράγωνο και προσθέτει τον αριθμό $5$.

1. Ποιος είναι ο $2011$ ος αριθμός αυτής της ακολουθίας;

2. Η Ελπίδα ξεκίνησε πάλι με τον αριθμό $128$, αλλά αντί για τον αριθμό $5$ διάλεξε έναν άλλο φυσικό αριθμό ως σταθερά. Αυτή τη φορά, $2011$ ος όρος, ήταν το $16$. Ποια σταθερά διάλεξε σε αυτή την περίπτωση;

Να είναι αύξουσα

Όρος $a_4$

Ποιος είναι ο επόμενος;

Φυσική ακολουθία

Ο Τιμόθεος έγραφε τους φυσικούς αριθμούς τον ένα μετά τον άλλο. Ξεκίνησε με τη μονάδα και συνέχισε:

$1234567891011... $

Μετά από λίγο σταμάτησε και έριξε μια ματιά στην ακολουθία του. Διαπίστωσε ότι στην ακολουθία των αριθμών που έγραφε, μόνο μια φορά εμφανίστηκαν τρία πεντάρια στη σειρά.

α) Τουλάχιστον πόσους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς έγραψε ο Τιμόθεος;

β) Πόσα τουλάχιστον ψηφία έγραψε;

Νυχτοφύλακας σε υπηρεσία

Ένας νυχτοφύλακας για να περάσει η ώρα στην υπηρεσία του έγραψε μια ακολουθία αριθμών. Ξεκίνησε με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό. 

Δημιούργησε κάθε επόμενο όρο της ακολουθίας προσθέτοντας έναν συγκεκριμένο αριθμό στον προηγούμενο αριθμό: πρόσθεσε $1$ στο πρώτο όρο, $3$ στον δεύτερο, $5$ στον τρίτο, $1$ στον τέταρτο, $3$ στον πέμπτο, $5$ στον έκτο, $1$ στον έβδομο, και ούτω καθεξής. Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί $40$ και $874$ βρίσκονται στην ακολουθία του.

α) Ποιος αριθμός ακολουθεί αμέσως μετά τον αριθμό $40$ και ποιος αμέσως μετά τον αριθμό $874$;

β) Βρίσκουμε δύο διαδοχικούς όρους στην ακολουθία, το άθροισμα των οποίων είναι $491$.

Ποιοι είναι αυτοί οι δύο αριθμοί;

Μαγική συμμετρία, μαθηματικά και κυνήγι στη φύση: Οταν οι μεγάπτερες φάλαινες σχηματίζουν την ακολουθία Φιμπονάτσι για να εγκλωβίσουν τα θηράματά τους [video]

Τα μαγευτικά πλάνα που τράβηξε ένας φωτογράφος στην Ανταρκτική ανέδειξαν σε όλη της την ομορφιά, μία εκπληκτική «εφαρμογή» της ακολουθίας Φιμπονάτσι στη φύση.

Η σπείρα ή ακολουθία Fibonacci, είναι ένα μοτίβο που εισήγαγε ο Ιταλός μαθηματικός Λεονάρντο της Πίζας και πέραν της μαθηματικής του ουσίας, έχει παρατηρηθεί σε διάφορες μορφές στη φύση: από τα κοχύλια σαλιγκαριών έως τις διατάξεις φύλλων στα δέντρα.

Άθροισμα των $n$ πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου

Έβδομος όρος

Να υπολογιστεί ο έβδομος όρος $α_7$ της ακολουθίας.

$α_{2111}=?$

Δίνονται οι αρχικοί διαδοχικοί όροι της ακολουθίας 

$1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ... $

Ποια είναι η σχέση μεταξύ των διαδοχικών όρων αυτής της ακολουθίας. 

Ποιος είναι ο $2111$ος όρος αυτής της ακολουθίας;

Λεονάρντο της Πίζας ή Φιμπονάτσι

Πρόκειται για τον μεγαλύτερο ευρωπαίο μαθηματικό του μεσαίωνα (γεννήθηκε γύρω στο 1175), που μεγάλωσε και σπούδασε στην σημερινή αλγερινή πόλη Beja’ia κάτω από τους Μαυριτανούς. 

Αργότερα που ταξίδεψε εκτενώς γύρω από τις ακτές της Μεσογείου είχε συναντηθεί με πολλούς εμπόρους και έμαθε για τα αριθμητικά συστήματα τους. Σύντομα συνειδητοποίησε τα πολλά πλεονεκτήματα του «ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος έναντι όλων των άλλων.

Η ακολουθία του μυστηρίου

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας:

$1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .$

Μία πολύ αργά αναπτυσσόμενη σειρά

Η σειρά

$\dfrac{1}{3log3loglog3}+ \dfrac{1}{4log4loglog4}+...$

αυξάνεται τόσο αργά που απαιτούνται 

όροι για να γίνει το άθροισμα μεγαλύτερο του $10$.

Ακόμα πιο αργά αναπτυσσόμενη σειρά είναι η παρακάτω:

$\dfrac{1}{2log2}+ \dfrac{1}{3log3}+\dfrac{1}{4log4}...$

για την οποία απαιτούνται 

$10^{4300}$

όροι για να γίνει το άθροισμα μεγαλύτερο του $10$.

Ακολουθία μυστήριο

Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός στην παρακάτω ακολουθία: 

$1, 9, 17, 3, 11, 19, 5, 13, 21, 7, 15, ?$