Τύποι για το Άθροισμα των Πρώτων n Φυσικών, Άρτιων, Περιττών Αριθμών και των Τετραγώνων τους

 

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

2025 Indian Math Olympiad — Problem 2

Οι ακέραιοι αριθμοί $1,2,\dots ,n$ είναι γραμμένοι σε έναν πίνακα. Σε κάθε κίνηση, η Άλις μπορεί να επιλέξει δύο διαφορετικούς αριθμούς $a\ne b$ από τον πίνακα, με την προϋπόθεση ότι το $a+b$ είναι άρτιος αριθμός, να τους σβήσει και να τους αντικαταστήσει με τον αριθμό ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$. 

Να βρείτε όλους τους ακέραιους $n\ge 2$ για τους οποίους η Άλις μπορεί να εκτελέσει μία ακολουθία κινήσεων έτσι ώστε να απομείνει μόνο ένας αριθμός στον πίνακα. 

Παρατήρηση: Όταν $n=3$, η Άλις μπορεί να μετατρέψει το $(1,2,3)$ σε $(2,2)$, αλλά δεν μπορεί να κάνει άλλες κινήσεις.

Ένας 90ψήφιος Αριθμός και το Κριτήριο του 9

Χρησιμοποιώντας μόνο δύο διαφορετικά ψηφία, το $2$ και το $a$, σχηματίζεται ο ακόλουθος $90$ψήφιος αριθμός:

Εάν αυτός ο $90$ψήφιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του $9$, βρείτε όλες τις πιθανές τιμές του ψηφίου $a$.

Δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί

Υπάρχουν δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται διαδοχικά με τους $$9,7,5,3,1,1,3,5,7,9;$$

Παράγοντες, άθροισμα και ίσες δυνάμεις

Έστω ότι $a,b,c,d$ είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε 

$ab=cd$. 

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 

$a^{1992}+b^{1992}+c^{1992}+d^{1992}$ 

είναι πάντα σύνθετος αριθμός.

Το θεώρημα του Wilson

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, τότε $$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

See three proofs of theorem here.

Υπολογισμός Πλήθους Ψηφίων

Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 

${2000}^{24}$ ? 

Απάντηση

Έχουμε διαδοχικά:

$2^{10}=1024>{10}^3$ 

$2^{20}>{10}^6$

$2^{24}>16\times {10}^6$

${2000}^{24}=2^{24}\times ({10}^3{)}^{24}=2^{24}\times {10}^{72}>16\times {10}^6\times {10}^{72}=$

$=16\times {10}^{78}$

$2^{13}=8192<{10}^4$

$2^{24}=2048\times 2^{13}<2048\times {10}^4$

${2000}^{24}=2^{24}\times {10}^{72}<2048\times {10}^4\times {10}^{72}=2048\times {10}^{76}$

Επομένως, ο αριθμός ${2000}^{24}$ έχει 

$4+76=80$ ψηφία.

Πρώτοι Παράγοντες Ακεραίου

Ο αριθμός $${\displaystyle \frac{9^9-8^8}{1001}}$$ είναι ακέραιος. Να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του.

Αναζήτηση Τιμών

Βρείτε όλες τις τιμές του $n$, δεδομένου ότι το $n$ είναι θετικός ακέραιος.

Πολλαπλάσια του 24 με ψηφία 2 και 4

Πόσοι $24$-ψήφιοι νούμερα που περιέχουν μόνο τα ψηφία $2$ και $4$ είναι πολλαπλάσια του $24$;

Τι είναι η Θεωρία Αριθμών, που Ακούμε Συχνά στα Μαθηματικά;

Για πολλούς, οι αριθμοί είναι απλώς εργαλεία για καθημερινούς υπολογισμούς. Για άλλους, αποτελούν ένα συναρπαστικό πεδίο έρευνας γεμάτο μυστήρια και προκλήσεις. 

Η Θεωρία Αριθμών, ένας από τους παλαιότερους και πιο γοητευτικούς κλάδους των μαθηματικών, μελετά τις ιδιότητες και τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών, ανοίγοντας ένα παράθυρο σε έναν κόσμο γεμάτο πρότυπα και μαθηματική ομορφιά. 

Η Θεωρία Αριθμών επικεντρώνεται κυρίως στους ακέραιους αριθμούς ($\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$) και τις αλληλεπιδράσεις τους.

Ακεραιότητα Αριθμού με Συνδυασμούς Παραγοντικών Τιμών

Αποδείξτε ότι για κάθε $n\ge 1$ ο αριθμός $$\frac{(1^2+2^2+\cdots +n^2)!}{(1!{)}^2\cdot (2!{)}^3\cdot (3!{)}^4\cdot \cdots \cdot (n!{)}^{n+1}}$$ είναι ακέραιος.

Πρόβλημα Πρώτων Τριάδων

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει:

Fermat’s Little Theorem: The most beautiful proof

Click on the image.

Swedish Mathematics Olympiad | 2002 Question 4

Fermat's Little Theorem

Fermat's Little Theorem

Πιερ Ντελίνι: Ο Βέλγος Μαθηματικός που Άλλαξε τη Θεωρία των Αριθμών

Το $2007$, το Βέλγιο τίμησε τον σπουδαίο μαθηματικό Πιερ Ντελίνι (Pierre Deligne) με την έκδοση ενός αναμνηστικού νομίσματος ή μεταλλίου, σχεδιασμένου από την καλλιτέχνιδα Els Vandevyvere. 

Ο Ντελίνι θεωρείται ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής μας, με εξαιρετικές συνεισφορές στη θεωρία των αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Το πιο εμβληματικό του επίτευγμα είναι η απόδειξη των υποθέσεων του Άντρου Βάιλ, που του χάρισε το Μετάλλιο Φιλντς το $1978$, τη σημαντικότερη διάκριση στα μαθηματικά.

Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ και το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής

Αυτή η εικόνα είναι ένα γραμματόσημο από τη Λαϊκή Δημοκρατία της Γερμανίας (DDR) που εκδόθηκε το $1981$, προς τιμήν του μαθηματικού Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ, ο οποίος γεννήθηκε το $1831$ και πέθανε το $1916$. 

Ο τύπος στο γραμματόσημο

$a=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}{p}_3^{e_3}\dots$ 

αναπαριστά το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, το οποίο λέει ότι κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του $1$ είναι είτε πρώτος αριθμός από μόνος του είτε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με μοναδικό τρόπο, εκτός από τη σειρά των παραγόντων. 

Αυτό το θεώρημα συχνά εκφράζεται στη μορφή της πρωταρχικής ανάλυσης ενός αριθμού, όπου $p_1,p_2,p_3,\dots$ είναι πρώτοι αριθμοί και $e_1,e_2,e_3,\dots$ είναι οι αντίστοιχοι δείκτες τους.

[3] - Number Theory Problems from and for Contests

 

[2] - Number Theory Problems from and for Contests