Χριστός Ανέστη!

Χριστὸς ἀνέστη ἐκ νεκρῶν,

θανάτῳ θάνατον πατήσας

καὶ τοῖς ἐν τοῖς μνήμασι

ζωὴν χαρισάμενος.

Άπειρο εξαγωνικό σύστημα

Nα βρεθεί το εμβαδόν σε αυτό το άπειρο εξαγωνικό σύστημα. Το εμβαδόν του κεντρικού εξαγώνου είναι $1$.

Δέκα φορές

Έστω $u, v$ πραγματικοί αριθμοί. Αν η ελάχιστη τιμή της παράστασης 

$Κ=\sqrt{u^2+v^2} +\sqrt{(u-1)^2+v^2}+$

$+\sqrt {u^2+ (v-1)^2}+ \sqrt{(u-1)^2+(v-1)^2}$ 

μπορεί να γραφεί στην μορφή $\sqrt{n}$να βρεθεί η τιμή του $10n$.

Bangladesh Mathematical Olympiad 2021

Δύο ερωτήσεις

α) Να προσδιορίσετε αν υπάρχει κυρτό εξάγωνο $ABCDEF$ με

$$\angle ABD + \angle AED > 180^{\circ},$$$$\angle BCE + \angle BFE > 180^{\circ},$$$$\angle CDF + \angle CAF > 180^{\circ}.$$

β) Την ίδια ερώτηση, με πρόσθετη προϋπόθεση, ότι διαγώνιοι $AD, BE$ και $CF$ συντρέχουν.

Ωραία κατασκευή

Το σχήμα δείχνει ένα τυχαίο (πράσινο) τρίγωνο στο κέντρο. Στις πλευρές του προς τα έξω κατασκευάστηκαν λευκά τετράγωνα. Συνδέομαι τις κορυφές τους με ευθ. τμήματα, και κατασκευάζομαι πάλι λευκά τετράγωνα κ.ο.κ. 

Στα κενά ανάμεσα στα τετράγωνα σχηματίζονταν τρίγωνα και τετράπλευρα, τα οποία βάφτηκαν με διάφορα χρώματα. Αποδείξτε ότι:

α) όλα τα έγχρωμα τα τετράπλευρα είναι τραπέζια 

β) τα εμβαδά όλων των πολυγώνων του ίδιου χρώματος είναι ίσα.

Kvant 2020

Ματ σε 2

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

Ο Νικόλαος Ραβδάς και το βασιλικὸν χρυσουργίον

Προβλήματα αριθμητικά και ζητήματα κοπής νομισμάτων 

στην υστεροβυζαντινή περίοδο

Για να διαβάσετε το άρθρο του αρχαιολόγου-νομισματολόγου Γιάννη Στόγια, κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα.

Το άρθρο υπάρχει στο βιβλίο «Επιστήμη και Τεχνολογία. Ιστορικές και ιστοριογραφικές μελέτες» επιμέλεια Μεργούπη-Σαβαΐδου κ.α., Εκδοτική Αθηνών (2013).

Ολόκληρο το βιβλίο εδώ.

Τι βρίσκουμε αν προσθέσουμε την ηλικία μας με την χρονιά που γεννηθήκαμε;

Ιστοσελίδα με γρίφους και προβλήματα σκακιού

Ο αγαπητός φίλος του Eisatopon Carlo de Grandi, εκτός από λύτης γρίφων εδώ στην παρέα μας, είναι και πολύ καλός κατασκευαστής προβλημάτων σκακιού και συγγραφέας. 

Διαχειρίζεται την ιστοσελίδα papaveri48a.blogspot.com την οποία αξίζει να την επισκεφτείτε. 

Από την ιστοσελίδα 24grammata.com διαβάζουμε το βιογραφικό του: 

Ο Carlo de Grandi γεννήθηκε στη Βενετία το 1948. Σπούδασε πληροφορική και λογιστικά στην Αθήνα. Έμαθε να παίζει σκάκι όταν ήταν 10 ετών. Λόγω των ασχολιών του περιορίστηκε να παίζει μόνο σκάκι δι’ αλληλογραφίας. Είναι συνθέτης και λύτης του Καλλιτεχνικού Σκακιού.

Από γωνίες ο λόγος

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$, τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC$. Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE$. 

α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC$. 

β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AD}{DB}$.

Πηγή: athematica

G. F. Bernhard Riemann: Επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών

Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη Μαθηματική Ανάλυση, την Τοπολογία, την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών και την 

Διαφορική γεωμετρία, προωθώντας τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση αργότερα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Κατά τον D. Struik «με τον Ρίμαν φτάνουμε στον άνθρωπο που επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών».

Ολυμπιακό σύστημα

Nα λυθεί το σύστημα: 

\[ \begin{cases} (x - 1)(y - 1)(z - 1) = xyz - 1,\\ (x - 2)(y - 2)(z - 2) = xyz - 2.\\ \end{cases}\]

International Olympiad of Metropolises 2018

Συμμετρικές ευθείες

Aν η ευθεία $y=mx+b$ είναι η συμμετρική της $x-3y+11=0$ ως προς τον άξονα $x$, να βρεθεί το άθροισμα $m+b$. 

$\text{(A) -6} \quad \text{(B) } -5\quad \text{(C) } -4\quad \text{(D) } -3\quad \text{(E) } -2$

Sir Isaac Newton watch

USA +1

Έστω πολυώνυμο 

$f(x) = x^3 +Ux^2 +Sx + A$ 

όπου $U$, $S$ και $A$ είναι ακέραιοι αριθμοί και $U +S + A +1 = 1773$.

Αν το πολυώνυμο έχει ακριβώς δύο διαφορετικές ρίζες $x$ και $y$, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $|xy|$.

Lexington Math Tournament 2023

$x^2g(x)=f(g(x))$

Όμορφοι αριθμοί

Άγνωστο μήκος

Να βρεθεί το μήκος $x$.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 11/5/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Μέχρι το 31!

Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 

 $1^1+2^2+3^3+4^4+\cdots+(31!)^{31!}$ 

με τον αριθμό $31$? 

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 30$