▪ Διαφορικός Λογισμός

Των Δ. Αργυράκη - Γ.Θ. Κουτσανδρέα

Κάντε κλικ εδώ.

Δείτε επίσης:

Θέματα Επανάληψης - Μαθηματικά Γενικής παιδείας

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Σημειώσεις

Πιθανές τιμές

Αν για τους ακέραιους αριθμούς $a, b, c$ ισχύουν:

$a^2 + 2bc = 1$ και $b^2 + 2ca = 2012$

να βρεθούν όλες οι πιθανές τιμές της παράστασης 

$c^2 + 2ab.$ 

Titu Andreescu, University of Texas at Dallas, USA

▪ ΟΙ ΑΡΕΤΕΣ ΤΟΥ ΚΑΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ή μπορούμε να γίνουμε καλύτεροι καθηγητές;

Του Μ. Κουλιφέτη

Σίγουρα η δουλειά του κάθε καθηγητή είναι πολύ δύσκολη. 

Ο κάθε καθηγητής έχει απέναντί του νέους . Οι νέοι δεν αγαπούν τη δουλειά. Προτιμούν να παίζουν ή να κοιτούν τηλεόραση. Πρέπει όμως να μάθουν να δουλεύουν, επειδή ασφαλώς θα πρέπει να δουλεύουν σε όλη την υπόλοιπη ζωή τους.

Ούτε την επιβολή αγαπούν οι νέοι. Θα προτιμούσαν ο κόσμος να είναι σε απεριόριστη αταξία, χωρίς καθήκοντα και ευθύνες. Τέτοιος κόσμος σήμερα δεν μπορεί να υπάρχει, κι έτσι οι νέοι πρέπει να μάθουν να σέβονται και να δέχονται τους κανόνες της σύγχρονης κοινωνίας κι αν δεν το μάθουν στο σχολείο θα διαπιστώσουν ότι είναι πολύ πικρό να το μάθουν αργότερα.

Οι νέοι μισούν την διαδικασία συγκέντρωσης του μυαλού τους. Δεν θέλουν τις συμβουλές μόνο και μόνο για να αποδείξουν ότι είναι ανεξάρτητοι.

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 23

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f : R → R $, για τις οποίες ισχύει:

για κάθε x, y.

Preudtanan Sriwongleang, Ramkamhaeng University, Thailand

▪Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 22

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $ f : N^* → N^*$, για τις οποίες ισχύει:

για κάθε n.

Gabriel Dospinescu, Ecole Polytechnique, France

▪Ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις Νομού Λέσβου 2012

Τα θέματα προσομοίωσης (με τις λύσεις τους), στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου, που δόθηκαν στο νομό Λέσβου για τη σχολική χρονιά 2012 (Α΄ και Β΄ φάση). Στο αρχείο υπάρχουν και τα θέματα του 2011.

Εποπτεία: Πρόδρομος Ελευθερίου, Προϊστάμενος Επιστημονικής και Παιδαγωγικής Καθοδήγησης Δ/θμιας Εκπ/σης Β. Αιγαίου

▪Επαναληπτικά θέματα στο Διαφορικό Λογισμό

Του Αλεξίου Ιωάννη

▪ Τα αυγά και τα καλάθια

Ένας αγρότης τοποθετεί ανά εννέα τα αυγά του σε καλάθια και του μένουν δύο καλάθια άδεια, χωρίς κανένα αυγό. Την ίδια ποσότητα αυγών την τοποθετεί ανά έξι στο ίδιο αριθμό καλαθιών, και του περισσεύουν δέκα πέντε αυγά. Πόσα αυγά και πόσα καλάθια έχει ο αγρότης μας;

▪ Η Ιστορία των Μαθηματικών στο Ε.Μ.Π.

Κατά τη μακρόχρονη ιστορία του Ε.Μ.Π., η υψηλής στάθμης μαθηματική παιδεία θεωρήθηκε απαραίτητη για τη σωστή εκπαίδευση των μηχανικών. Έτσι, ανέκαθεν στο Ε.Μ.Π. τα Μαθηματικά προσέφεραν όχι μόνο ένα απαραίτητο υπόβαθρο γνώσεων, αλλά και γενικότερα διαμόρφωναν την επιστημονική κατάρτιση των διπλωματούχων του. Από το ιδρυτικό διάταγμα (31‐12‐1836) διαφαίνεται ο σημαντικός ρόλος των Μαθηματικών, ως βασικού εργαλείου της τεχνολογικής ανάπτυξης, τόσο με τη δυναμική της θεωρίας τους, όσο και με τον πλούτο των εφαρμογών τους.

Ο συγκερασμός των δύο αυτών στόχων, δηλαδή της εκπαίδευσης ικανών μηχανικών και της παροχής μαθηματικής παιδείας υψηλού επιπέδου, αποτέλεσε το πλαίσιο, κατά το πρότυπο της γαλλικής Πολυτεχνικής Σχολής, μέσα στο οποίο άρχισε να λειτουργεί το Ε.Μ.Π. παράλληλα με άλλα ευρωπαϊκά Πολυτεχνεία. Από την εποχή του Α. Δαμασκηνού (1877‐84), η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν περιορίζεται μόνο στις αναγκαίες μαθηματικές γνώσεις, αλλά απηχεί και τις σύγχρονες ανακαλύψεις στα Μαθηματικά.

▪ The Three-Distance Theorem

▪ Σαν σήμερα

Carl Friedrich Gauss

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 30 Απριλίου 
1777 : Gauss
1861 : John Clark
1875 : Archibald Milne
1916 : Shannon
Μαθηματικοί που πέθαναν στις 30 Απριλίου
1977 : Fox
1989 : Kothe

▪ ΣΤ' Δημοτικού: 12ος Μαθηματικός Διαγωνισμός στα Χανιά

Πραγματοποιήθηκε το Σάββατο 28 Απριλίου 2012 στο χώρο του 1ου Γενικού Λυκείου Χανίων, ο 12ος Τοπικός - Νομαρχιακός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά για μαθητές της ΣΤ' Δημοτικού. Ο διαγωνισμός στέφθηκε με απόλυτη επιτυχία, με συμμετοχή περίπου 200 μαθητών από όλο το Νομό Χανίων.

Δείτε στις παρακάτω συνδέσεις τα θέματα του φετινού διαγωνισμού καθώς και θέματα προηγουμένων ετών:

▪ Γιγαντιαίοι Κρυπτάριθμοι - 7

Στις παρακάτω προσθέσεις σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί και ένα ψηφίο, σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία.

Να βρεθούν τα γράμματα ώστε οι προσθέσεις να είναι σωστές.

▪Μαθηματικές "καρδιές'

Πως σχεδιάζουμε καρδούλες με τη βοήθεια των μαθηματικών;

Μέθοδος 1η

Σχεδιάζουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο και φέρνουμε κάθετες στις ίσες πλευρές του. Σχηματίζουμε ένα άλλο ισοσκελές τρίγωνο και επί των πλευρών του οποίου γράφουμε δύο ημικύκλια.  

Μέθοδος 2η 

Σχεδιάζουμε δύο ίσους εφαπτόμενους κύκλους και φέρνουμε την κοινή τους εφαπτομένη καθώς και τις εξωτερικές τους εφαπτομένες.

▪ Γεωμετρία: Ασκήσεις 246 - 247

1. Έστω τρίγωνο με ύψη ha, hb, hc και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r. Να αποδειχθεί ότι:

Oleh Faynshteyn, Leipzig, Germany

2. Σε κάθε τρίγωνο να αποδειχθεί ότι:

Dorin Andrica, Babes - Bolyai University και Khoa Lu Nguyen, MIT

▪ Praeger’s Theorem on Bounded Movement

▪ Σαν σήμερα

Μαθηματικοί που γεννήθηκαν στις 29 Απριλίου 

Jules Henri Poincaré  

1850 : Story
1854 : Poincaré
1872 : Moulton
1876 : Montel
1886 : Walter Brown
1930 : Wang Yuan
1936 : Strassen
Μαθηματικοί που πέθαναν στις 29 Απριλίου
1864 : Brianchon
1872 : Duhamel
1894 : Battaglini
1916 : Gram
1951 : Wittgenstein
1970 : Finsler
1975 : Burchnall

▪ Απλή λογική

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 245

Έστω τετράπλευρο ABCD με κάθετες διαγωνίους. Αν Ω1, Ω2, Ω3, Ω4 είναι τα κέντρα των κύκλων των 9 - σημείων των τριγώνων ABC, BCD, CDA, DAB, αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι οι οι διαγώνιες του τετραπλεύρου Ω1Ω2Ω3Ω4 τέμνονται στο κέντρο βάρους του ABCD.

Ivan Borsenco, University of Texas, USA

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 244

Έστω τρίγωνο ABC και Ma, Mb, Mc τα μέσα των πλευρών του BC, CA, AB, αντίστοιχα. Αν τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές Mb, Mc στο τρίγωνο AMbMC είναι C2 και B1, τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές Ma, Mb στο τρίγωνο CMaMb είναι B2 και A1, τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές Mc, Ma στο τρίγωνο BMaMc είναι Α2 και C1, να αποδειχθεί ότι οι μεσοκάθετοι των B1C2, C1A2 και A1B2 συντρέχουν.

Vinoth Nandakumar, Sydney University, Australia

Η λύση της άσκησης: Φραγκάκης Νίκος (Doloros) 2ο Λύκειο Ιεράπετρας

▪ Παράδοξα Πιθανοτήτων

Στη μελέτη αυτή εξετάζονται διάφορα προβλήματα πιθανοτήτων των οποίων είτε η λύση δεν είναι μοναδική και πολλές φορές εξαρτάται από τη διατύπωση του προβλήματος, είτε μπερδεύουν τον απλό μελετητή. 

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε την εργασία.
Γίνεται μια προσπάθεια ερμηνείας του παράδοξου σε κάθε πρόβλημα και παρουσιάζονται οι διάφορες προσεγγίσεις στη λύση τους. Μεταξύ άλλων εξετάζονται τα παράδοξα:

Το Πρόβλημα Monty Hall

Το Σπασμένο Ραβδί

Το Παράδοξο του Bertrand

Παράδοξα μεταβατικής ιδιότητας

Εργασία των μαθητών: Πετρίδης Ανδρέας, Ιουλιανού Αθανάσιος, Σάββα Μαρία, Πτωχοπούλου Θεογνωσία, Χάρπα Άντρη, Βορκά Φλώρα, Ιωάννου Μαρία, υπό την επίβλεψη του καθηγητή Ιωάννου Ιωάννη (Λύκειο Βεργίνας).

▪ Γεωμετρία: Άσκηση 243

Έστω εγγγράψιμο τετράπλευρο ABCD και P το σημείο τομής των διαγωνίων του. Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών ∠APB, ∠BPC, ∠CPD, ∠DPA. Αυτές τέμνουν τις πλευρές AB, BC, CD, DA στα σημεία Pab, Pbc, Pcd, Pda, αντίστοιχα και τις προεκτάσεις των ίδιων πλευρών στα σημεία Qab, Qbc, Qcd, Qda, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των τμημάτων PabQab, PbcQbc, PcdQcd, PdaQda είναι συνευθειακά.

Mihai Miculita, Oradea, Romania

▪ Βρείτε τη γάτα

Στην παρακάτω εικόνα υπάρχει κρυμμένη μία γάτα. Βρείτε την! 

▪ Ανισότητες - 95η

Έστω $a, b, c, x, y, z ≥ 0$. Να αποδειχθεί ότι: $$(a^2 + x^2)(b^2+ y^2)(c^2+ z^2) ≥ (ayz + bzx + cxy − xyz)^2.$$

Titu Andreescu, University of Texas 

▪ Τρεις φορές παραγωγίσιμη

Έστω συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και έστω a, b, c ∈ Δ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ ∈ Δ, τέτοιο ώστε:

Vasile Cirtoaje, University of Ploiesti, Romania

 

▪ Μια απροσδόκητα χρήσιμη ανισότητα

▪ 7 νάνοι

Γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι κάθονται 7 νάνοι. Μπροστά από τον καθένα υπάρχει μία κούπα. Μερικές από αυτές τις κούπες περιέχουν γάλα. Ένας από τους νάνους μοιράζει όλο το δικό του γάλα ισόποσα στις κούπες των υπολοίπων. Κατόπιν ο γείτονας του από τα δεξιά κάνει το ίδιο. Ύστερα το ίδιο κάνει ο επόμενος γείτονας από δεξιά κ.ο.κ. όταν και ο τελευταίος (ο έβδομος) νάνος μοίρασε το γάλα του στους υπόλοιπους, διαπιστώθηκε ότι σε κάθε κούπα περιέχεται τόσο γάλα όσο και στην αρχή. Το γάλα που υπήρχε στις κούπες ήταν συνολικά 3 λίτρα. Πόσα γάλα υπήρχε αρχικά σε κάθε κούπα;

Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες Ε.Σ.Σ.Δ.

▪ Ελάχιστος φυσικός

Δίνεται το τριώνυμο 

$f(x) = ax^2 + bx + c$, 

όπου a φυσικός αριθμός και b, c ακέραιοι. Αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο διαφορετικές και θετικές ρίζες μικρότερες της μονάδας, να υπολογίσετε την ελάχιστης τιμής του φυσικούς αριθμού a. 

Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες Ε.Σ.Σ.Δ.

▪ 29η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2012

Τα θέματα της 29ης Βαλκανιάδας Μαθηματικών, που έγινε σήμερα Σάββατο 28 Απριλίου, στην Αττάλεια της Τουρκίας.

Πρόβλημα 1ο

Let , and be points lying on a circle with centre . Assume that . Let be the point of intersection of the line with the line perpendicular to at . Let be the line through which is perpendicular to . Let be the point of intersection of with the line , and let be the point of intersection of with that lies between and .

Prove that the circumcircles of triangles and are tangent at .
Κάντε κλικ στον σύνδεσμο να δείτε τη λύση της άσκησης: Φραγκάκης Νίκος(Doloros)

Πρόβλημα 2ο 

Prove that 

for all positive real numbers and . 

Πρόβλημα 3ο 

Let be a positive integer. Let For each subset of , we write for the sum of all elements of , with the convention that where is the empty set. Suppose that is a real number with

Prove that there is a subset of such that

  .

Πρόβλημα 4ο 

Let be the set of positive integers. Find all functions such that the following conditions both hold:

for every positive integer ,

divides whenever and are different positive integers.

Δείτε εδώ τα θέματα στα Ελληνικά (pdf).

← Νεότερες Αρχική Παλαιότερες →