EisatoponAI: 🎩 Οκτώ Καλεσμένοι, Οκτώ Αριθμοί, σε Οκταγωνικό Τραπέζι

📘 Το Πρόβλημα

Οκτώ καλεσμένοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι του οποίου οι άκρες, αριθμημένες από το 1 έως το 8 δεξιόστροφα, σχηματίζουν ένα κανονικό οκτάγωνο. Στο δαχτυλίδι της χαρτοπετσέτας κάθε καλεσμένου είναι γραμμένος ένας αυστηρά θετικός ακέραιος αριθμός, γνωστός σε όλους.

Στην αρχή του γεύματος, πραγματοποιείται ο ακόλουθος διάλογος:

αρ. 1: Ο ακέραιός μου είναι τριπλάσιος από αυτόν του γείτονά μου.
αρ. 2: Ο ακέραιός μου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο γειτόνων μου.
αρ. 3: Ο ακέραιός μου είναι διπλάσιος από τον ακέραιο που κατέχει ο γείτονάς μου.
αρ. 4: Ο ακέραιός μου είναι ίσος με την αναλογία των ακεραίων των δύο γειτόνων μου.
αρ. 5: Ο ακέραιός μου είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των ακεραίων των δύο γειτόνων μου.
αρ. 6: Ο ακέραιός μου είναι το άθροισμα των ακεραίων των δύο γειτόνων μου.
αρ. 7: Ο ακέραιός μου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των ακεραίων των δύο γειτόνων μου.
αρ. 8: Αγαπητέ αναγνώστη, προσδιορίστε τους οκτώ ακέραιους γνωρίζοντας ότι είναι όλοι διαφορετικοί και ότι το άθροισμά τους είναι όσο το δυνατόν μικρότερο.

🔑 Κάνε κλικ για να αποκαλυφθεί η λύση

📐 Η Λύση

Έστω \(a_1, a_2, \ldots, a_8\) οι αριθμοί κατά σειρά γύρω από το τραπέζι. Μεταφράζοντας τις δηλώσεις σε εξισώσεις και επιλύοντας το σύστημα με τον περιορισμό της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος, προκύπτει η μοναδική λύση:

\[ \boxed{a_1 = 48,\; a_2 = 26,\; a_3 = 4,\; a_4 = 2,\; a_5 = 8,\; a_6 = 32,\; a_7 = 24,\; a_8 = 16} \]

Άθροισμα: \(48 + 26 + 4 + 2 + 8 + 32 + 24 + 16 = \boxed{160}\)

✅ Επαλήθευση

Καλεσμένος	Αριθμός	Δήλωση	Έλεγχος
1	48	τριπλάσιος γείτονα	\(48 = 3 \times 16\) (γείτονας \(a_8\)) ✓
2	26	αριθμητικός μέσος	\(26 = \frac{48 + 4}{2}\) ✓
3	4	διπλάσιος γείτονα	\(4 = 2 \times 2\) (γείτονας \(a_4\)) ✓
4	2	αναλογία γειτόνων	\(2 = \frac{8}{4} = \frac{a_5}{a_3}\) ✓
5	8	γεωμετρικός μέσος	\(8 = \sqrt{2 \times 32}\) ✓
6	32	άθροισμα γειτόνων	\(32 = 8 + 24\) ✓
7	24	αριθμητικός μέσος	\(24 = \frac{32 + 16}{2}\) ✓
8	16	—	✓