🔵🔲 Στρογγυλό Καρφί σε Τετράγωνη Τρύπα, ή το Αντίστροφο;-- Ένα γεωμετρικό παζλ σε δύο και τρεις διαστάσεις

📘 Μέρος Πρώτο: Δύο Διαστάσεις

Ποιο ταιριάζει καλύτερα — ένα τετράγωνο καρφί σε στρογγυλή τρύπα, ή ένα στρογγυλό καρφί σε τετράγωνη τρύπα; Πιο συγκεκριμένα: αν πάρεις έναν κύκλο και εφαρμόσεις μέσα του το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο, και μετά πάρεις ένα τετράγωνο και εφαρμόσεις μέσα του τον μεγαλύτερο δυνατό κύκλο, ποιο από τα δύο αφήνει αναλογικά λιγότερο κενό χώρο;

💡 Δες τη λύση (Μέρος Πρώτο)

Τετράγωνο μέσα σε κύκλο ακτίνας \(r\): η διαγώνιος του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου, \(2r\), άρα η πλευρά είναι \(r\sqrt{2}\) και το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \(2r^2\). Το εμβαδόν του κύκλου είναι \(\pi r^2\). Η αναλογία κάλυψης είναι:

\[ \frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 63{,}66\% \]

δηλαδή σπαταλιέται περίπου 36,34% του χώρου.

Κύκλος μέσα σε τετράγωνο πλευράς \(s\): η διάμετρος του κύκλου ισούται με την πλευρά του τετραγώνου \(s\), άρα το εμβαδόν του κύκλου είναι \(\pi(s/2)^2=\pi s^2/4\). Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι \(s^2\). Η αναλογία κάλυψης είναι:

\[ \frac{\pi s^2/4}{s^2} = \frac{\pi}{4} \approx 78{,}54\% \]

δηλαδή σπαταλιέται μόλις περίπου 21,46% του χώρου.

Συμπέρασμα: ο κύκλος μέσα στο τετράγωνο ταιριάζει καλύτερα — δηλαδή το στρογγυλό καρφί στην τετράγωνη τρύπα σπαταλάει λιγότερο χώρο (21,46% έναντι 36,34%).

📘 Μέρος Δεύτερο: Τρεις Διαστάσεις

Ποιο ταιριάζει καλύτερα μέσα σε μια σφαίρα — ένα δωδεκάεδρο ή ένα εικοσάεδρο; Δηλαδή, αν τοποθετήσεις το μεγαλύτερο δυνατό δωδεκάεδρο και το μεγαλύτερο δυνατό εικοσάεδρο μέσα στην ίδια σφαίρα, ποιο αφήνει λιγότερο κενό χώρο;

💡 Δες τη λύση (Μέρος Δεύτερο)

Κανονικοποιώντας και τα δύο στερεά ώστε να έχουν την ίδια περιγεγραμμένη ακτίνα (δηλαδή να εφάπτονται ακριβώς στην ίδια σφαίρα), οι υπολογισμοί δίνουν:

Εικοσάεδρο: γεμίζει περίπου 60,55% της σφαίρας
Δωδεκάεδρο: γεμίζει περίπου 66,49% της σφαίρας

Συμπέρασμα: το δωδεκάεδρο ταιριάζει καλύτερα μέσα στη σφαίρα — παρότι διαισθητικά θα περίμενε κανείς το εικοσάεδρο, με τις 20 τριγωνικές έδρες του και το πιο «στρογγυλεμένο» σχήμα, να είναι το πιο αποδοτικό. Μια ωραία αντι-διαισθητική έκπληξη!

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →