🏃♂️ 2026 MATH MARATHON - POLYNOMIALS #3
Polynomials Mastery
Part 3: Reciprocal & Symmetric Polynomials - Η Δύναμη της Συμμετρίας
🔗 Σύνδεση με Parts 1-2:
Part 1: Division, Factor & Remainder Theorems
Part 2: Vieta's Formulas, Roots of Unity
Part 3 (σήμερα): Reciprocal & Symmetric Polynomials - Τα εργαλεία της συμμετρίας!
Τι θα μάθετε σήμερα:
✅ Reciprocal Polynomials (ορισμός, θεώρημα, ιδιότητες)
✅ Η μαγική substitution \(z = x + \frac{1}{x}\)
✅ Symmetric Polynomials (σ₁, σ₂, σ₃)
✅ Elementary Symmetric Polynomials vs Power Sums
✅ Newton's Identities (πλήρης ανάπτυξη)
✅ 7 IMO-level παραδείγματα
✅ Reduction techniques
Part 1: Division, Factor & Remainder Theorems
Part 2: Vieta's Formulas, Roots of Unity
Part 3 (σήμερα): Reciprocal & Symmetric Polynomials - Τα εργαλεία της συμμετρίας!
Τι θα μάθετε σήμερα:
✅ Reciprocal Polynomials (ορισμός, θεώρημα, ιδιότητες)
✅ Η μαγική substitution \(z = x + \frac{1}{x}\)
✅ Symmetric Polynomials (σ₁, σ₂, σ₃)
✅ Elementary Symmetric Polynomials vs Power Sums
✅ Newton's Identities (πλήρης ανάπτυξη)
✅ 7 IMO-level παραδείγματα
✅ Reduction techniques
🤔 Ερώτηση Προβληματισμού:
Γιατί η συμμετρία είναι τόσο δυνατή στα μαθηματικά; Επειδή μας επιτρέπει να μειώσουμε την πολυπλοκότητα! Όταν ένα πρόβλημα έχει συμμετρία, μπορούμε να το λύσουμε με λιγότερες μεταβλητές.
Γιατί η συμμετρία είναι τόσο δυνατή στα μαθηματικά; Επειδή μας επιτρέπει να μειώσουμε την πολυπλοκότητα! Όταν ένα πρόβλημα έχει συμμετρία, μπορούμε να το λύσουμε με λιγότερες μεταβλητές.
🔄 1. Reciprocal Polynomials - Τα Αντίστροφα
📌 Ορισμός: Reciprocal Polynomial
Ένα πολυώνυμο \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\) λέγεται reciprocal (ή palindromic) αν:
• \(x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1\) (reciprocal — συντελεστές \(1,3,5,3,1\), συμμετρικοί)
• \(5x^5 - 2x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 2x + 5\) (reciprocal)
• \(x^2 + 3x + 2\) (ΟΧΙ reciprocal — συντελεστές \(1,3,2\): \(a_0=2 \neq a_2=1\))
Σημείωση: Ο όρος "reciprocal" προέρχεται από το γεγονός ότι αν \(\alpha\) είναι ρίζα, τότε και το \(\frac{1}{\alpha}\) είναι ρίζα!
Ένα πολυώνυμο \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\) λέγεται reciprocal (ή palindromic) αν:
\[ a_i = a_{n-i} \quad \text{για κάθε } i = 0, 1, \ldots, n \]
Ισοδύναμα:
\[ x^n f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) \]
Παραδείγματα:• \(x^4 + 3x^3 + 5x^2 + 3x + 1\) (reciprocal — συντελεστές \(1,3,5,3,1\), συμμετρικοί)
• \(5x^5 - 2x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 2x + 5\) (reciprocal)
• \(x^2 + 3x + 2\) (ΟΧΙ reciprocal — συντελεστές \(1,3,2\): \(a_0=2 \neq a_2=1\))
Σημείωση: Ο όρος "reciprocal" προέρχεται από το γεγονός ότι αν \(\alpha\) είναι ρίζα, τότε και το \(\frac{1}{\alpha}\) είναι ρίζα!
🎯 Θεώρημα Reciprocal Polynomials
Κάθε reciprocal polynomial \(f(x)\) βαθμού \(2n\) μπορεί να γραφτεί στη μορφή:
Για περιττό βαθμό \(2n+1\):
Αν το \(f(x)\) είναι reciprocal βαθμού \(2n+1\), τότε το \((x+1)\) είναι πάντα παράγοντας (όχι απλώς πιθανός — είναι εύκολο να δείξουμε ότι \(f(-1)=0\) πάντα: επειδή ο βαθμός είναι περιττός, κάθε ζεύγος όρων \(a_i x^i\) και \(a_{n-i}x^{n-i}\) με \(a_i=a_{n-i}\) συνεισφέρει \(a_i[(-1)^i+(-1)^{n-i}]\) στο \(f(-1)\), και αφού \(i+(n-i)=n\) είναι περιττός, τα \(i\) και \(n-i\) έχουν πάντα διαφορετική αρτιότητα — άρα κάθε ζεύγος ακυρώνεται!).
Διαιρώντας με \((x+1)\), παίρνουμε reciprocal άρτιου βαθμού.
Κάθε reciprocal polynomial \(f(x)\) βαθμού \(2n\) μπορεί να γραφτεί στη μορφή:
\[ f(x) = x^n g\left(x + \frac{1}{x}\right) \]
όπου \(g(z)\) είναι πολυώνυμο βαθμού \(n\) στο \(z = x + \frac{1}{x}\).Για περιττό βαθμό \(2n+1\):
Αν το \(f(x)\) είναι reciprocal βαθμού \(2n+1\), τότε το \((x+1)\) είναι πάντα παράγοντας (όχι απλώς πιθανός — είναι εύκολο να δείξουμε ότι \(f(-1)=0\) πάντα: επειδή ο βαθμός είναι περιττός, κάθε ζεύγος όρων \(a_i x^i\) και \(a_{n-i}x^{n-i}\) με \(a_i=a_{n-i}\) συνεισφέρει \(a_i[(-1)^i+(-1)^{n-i}]\) στο \(f(-1)\), και αφού \(i+(n-i)=n\) είναι περιττός, τα \(i\) και \(n-i\) έχουν πάντα διαφορετική αρτιότητα — άρα κάθε ζεύγος ακυρώνεται!).
Διαιρώντας με \((x+1)\), παίρνουμε reciprocal άρτιου βαθμού.
✍️ Απόδειξη του Θεωρήματος
Βήμα 1: Έκφραση του f(x)
Έστω \(f(x) = a_0x^{2n} + a_1x^{2n-1} + \cdots + a_{n-1}x^{n+1} + a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\) (reciprocal).
Γράφουμε, ομαδοποιώντας συμμετρικούς όρους:
\[ f(x) = x^n\Big[a_0(x^n+x^{-n}) + a_1(x^{n-1}+x^{-(n-1)}) + \cdots + a_{n-1}(x+x^{-1}) + a_n\Big] \]
Έστω \(f(x) = a_0x^{2n} + a_1x^{2n-1} + \cdots + a_{n-1}x^{n+1} + a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\) (reciprocal).
Γράφουμε, ομαδοποιώντας συμμετρικούς όρους:
\[ f(x) = x^n\Big[a_0(x^n+x^{-n}) + a_1(x^{n-1}+x^{-(n-1)}) + \cdots + a_{n-1}(x+x^{-1}) + a_n\Big] \]
Βήμα 2: Εισαγωγή του z = x + 1/x
Παρατηρούμε ότι:
\[ x^k + x^{-k} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^{k-1} + x^{-k+1}\right) - \left(x^{k-2} + x^{-k+2}\right) \]
Επομένως, κάθε \(x^k + x^{-k}\) μπορεί να εκφραστεί σαν πολυώνυμο στο \(z = x + \frac{1}{x}\)!
Συγκεκριμένα:
• \(x + x^{-1} = z\)
• \(x^2 + x^{-2} = (x+x^{-1})^2 - 2 = z^2 - 2\)
• \(x^3 + x^{-3} = (x+x^{-1})^3 - 3(x+x^{-1}) = z^3 - 3z\)
• \(x^4 + x^{-4} = z^4 - 4z^2 + 2\)
Παρατηρούμε ότι:
\[ x^k + x^{-k} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^{k-1} + x^{-k+1}\right) - \left(x^{k-2} + x^{-k+2}\right) \]
Επομένως, κάθε \(x^k + x^{-k}\) μπορεί να εκφραστεί σαν πολυώνυμο στο \(z = x + \frac{1}{x}\)!
Συγκεκριμένα:
• \(x + x^{-1} = z\)
• \(x^2 + x^{-2} = (x+x^{-1})^2 - 2 = z^2 - 2\)
• \(x^3 + x^{-3} = (x+x^{-1})^3 - 3(x+x^{-1}) = z^3 - 3z\)
• \(x^4 + x^{-4} = z^4 - 4z^2 + 2\)
Βήμα 3: Συμπέρασμα
Άρα το \(f(x)/x^n\) μπορεί να γραφτεί ως πολυώνυμο \(g(z)\) όπου \(z = x + \frac{1}{x}\).
Επομένως \(f(x) = x^n g(z)\). ✓
Άρα το \(f(x)/x^n\) μπορεί να γραφτεί ως πολυώνυμο \(g(z)\) όπου \(z = x + \frac{1}{x}\).
Επομένως \(f(x) = x^n g(z)\). ✓
📝 Η Μαγική Substitution: \(z = x + \frac{1}{x}\)
🎯 Βασικές Σχέσεις
Όταν \(z = x + \frac{1}{x}\), έχουμε:
Θέτοντας \(s_k = x^k + \frac{1}{x^k}\), έχουμε:
Όταν \(z = x + \frac{1}{x}\), έχουμε:
1. \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = z^2 - 2\)
2. \(x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = z^3 - 3z\)
3. \(x^4 + \frac{1}{x^4} = (z^2-2)^2 - 2 = z^4 - 4z^2 + 2\)
4. \(x^5 + \frac{1}{x^5}\): χρησιμοποιώντας την αναδρομή \(s_5 = z\cdot s_4 - s_3\):
\[ x^5+\frac{1}{x^5} = z(z^4-4z^2+2) - (z^3-3z) = z^5 - 5z^3 + 5z \]
Γενική Αναδρομική Σχέση:2. \(x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = z^3 - 3z\)
3. \(x^4 + \frac{1}{x^4} = (z^2-2)^2 - 2 = z^4 - 4z^2 + 2\)
4. \(x^5 + \frac{1}{x^5}\): χρησιμοποιώντας την αναδρομή \(s_5 = z\cdot s_4 - s_3\):
\[ x^5+\frac{1}{x^5} = z(z^4-4z^2+2) - (z^3-3z) = z^5 - 5z^3 + 5z \]
Θέτοντας \(s_k = x^k + \frac{1}{x^k}\), έχουμε:
\[ s_{k+1} = z \cdot s_k - s_{k-1} \]
με \(s_0 = 2\) και \(s_1 = z\).
🔹 Παράδειγμα: Εφαρμογή της Substitution
Πρόβλημα: Λύστε την εξίσωση:
\[ x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0 \]
Λύση:
Βήμα 1: Έλεγχος reciprocal
Συντελεστές: \(1, 1, -4, 1, 1\) → Reciprocal! ✓
Επίσης, \(x = 0\) δεν είναι ρίζα.
Συντελεστές: \(1, 1, -4, 1, 1\) → Reciprocal! ✓
Επίσης, \(x = 0\) δεν είναι ρίζα.
Βήμα 2: Διαίρεση με \(x^2\)
\[ x^2 + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]
\[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 4 = 0 \]
\[ x^2 + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \]
\[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 4 = 0 \]
Βήμα 3: Substitution \(z = x + \frac{1}{x}\)
Από \(x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2\):
\[ (z^2 - 2) + z - 4 = 0 \]
\[ z^2 + z - 6 = 0 \]
\[ (z+3)(z-2) = 0 \]
Άρα \(z = -3\) ή \(z = 2\).
Από \(x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2\):
\[ (z^2 - 2) + z - 4 = 0 \]
\[ z^2 + z - 6 = 0 \]
\[ (z+3)(z-2) = 0 \]
Άρα \(z = -3\) ή \(z = 2\).
Βήμα 4: Επίλυση για x
Για \(z = 2\):
\[ x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Για \(z = -3\):
\[ x + \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Απάντηση: \(x = 1\) (διπλή), \(x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}\), \(x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}\)
Για \(z = 2\):
\[ x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
Για \(z = -3\):
\[ x + \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x^2 + 3x + 1 = 0 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
🔗 2. Symmetric Polynomials - Οι Συμμετρικοί
📌 Ορισμός: Symmetric Polynomial
Ένα πολυώνυμο \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) λέγεται συμμετρικό αν:
Απλά λόγια: Το πολυώνυμο δεν αλλάζει όταν ανταλλάσσουμε τις μεταβλητές!
Παραδείγματα:
• \(x + y\) (συμμετρικό)
• \(x^2 + y^2\) (συμμετρικό)
• \(xy\) (συμμετρικό)
• \(x^2y + xy^2\) (συμμετρικό)
• \(x^2 - y^2\) (ΟΧΙ συμμετρικό!)
Ένα πολυώνυμο \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) λέγεται συμμετρικό αν:
\[ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, \ldots, x_{\pi(n)}) \]
για κάθε μετάθεση \(\pi\).Απλά λόγια: Το πολυώνυμο δεν αλλάζει όταν ανταλλάσσουμε τις μεταβλητές!
Παραδείγματα:
• \(x + y\) (συμμετρικό)
• \(x^2 + y^2\) (συμμετρικό)
• \(xy\) (συμμετρικό)
• \(x^2y + xy^2\) (συμμετρικό)
• \(x^2 - y^2\) (ΟΧΙ συμμετρικό!)
👑 Elementary Symmetric Polynomials
Για μεταβλητές \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), ορίζουμε:
Για μεταβλητές \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), ορίζουμε:
\(\sigma_1\): Άθροισμα (degree 1)
\[ \sigma_1 = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \]
\(\sigma_2\): Άθροισμα γινομένων ανά 2 (degree 2)
\[ \sigma_2 = \sum_{i < j} x_ix_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n \]
\(\sigma_3\): Άθροισμα γινομένων ανά 3 (degree 3)
\[ \sigma_3 = \sum_{i < j < k} x_ix_jx_k \]
\(\vdots\)
\(\sigma_n\): Γινόμενο όλων
\[ \sigma_n = x_1 x_2 \cdots x_n \]
\[ \sigma_1 = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \]
\(\sigma_2\): Άθροισμα γινομένων ανά 2 (degree 2)
\[ \sigma_2 = \sum_{i < j} x_ix_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n \]
\(\sigma_3\): Άθροισμα γινομένων ανά 3 (degree 3)
\[ \sigma_3 = \sum_{i < j < k} x_ix_jx_k \]
\(\vdots\)
\(\sigma_n\): Γινόμενο όλων
\[ \sigma_n = x_1 x_2 \cdots x_n \]
📝 Για 2 Μεταβλητές
Για \(x, y\):
\(\sigma_1 = x + y\)
\(\sigma_2 = xy\)
Σημαντικές Ταυτότητες:
• \(x^2 + y^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
• \(x^3 + y^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\)
• \(x^4 + y^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2\)
\(\sigma_1 = x + y\)
\(\sigma_2 = xy\)
Σημαντικές Ταυτότητες:
• \(x^2 + y^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
• \(x^3 + y^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\)
• \(x^4 + y^4 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2\)
📝 Για 3 Μεταβλητές
Για \(x, y, z\):
\(\sigma_1 = x + y + z\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Σημαντικές Ταυτότητες:
• \(x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
• \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
• \(x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
\(\sigma_1 = x + y + z\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Σημαντικές Ταυτότητες:
• \(x^2 + y^2 + z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
• \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
• \(x^3 + y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
🔢 3. Power Sums & Newton's Identities
📐 Power Sums
Ορίζουμε τα power sums:
Ορίζουμε τα power sums:
\[ s_k = x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k \]
Τα power sums είναι συμμετρικά πολυώνυμα και μπορούν να εκφραστούν μέσω των elementary symmetric polynomials \(\sigma_1, \ldots, \sigma_n\).
🎯 Newton's Identities (Γενική Μορφή)
Για \(k \geq 1\):
Για \(k \geq 1\):
\[ s_k - \sigma_1 s_{k-1} + \sigma_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1 + (-1)^k k\sigma_k = 0 \]
για \(k \leq n\), και
\[ s_k - \sigma_1 s_{k-1} + \sigma_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^n\sigma_n s_{k-n} = 0 \]
για \(k > n\).
📝 Newton's Identities για 2 Μεταβλητές
Για \(x, y\) με \(\sigma_1 = x+y, \sigma_2 = xy\):
\(s_1 = \sigma_1\)
\(s_2 = \sigma_1 s_1 - 2\sigma_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
\(s_3 = \sigma_1 s_2 - \sigma_2 s_1 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\)
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2\)
Αναδρομική σχέση για \(k \geq 2\):
\[ s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} \]
\(s_1 = \sigma_1\)
\(s_2 = \sigma_1 s_1 - 2\sigma_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
\(s_3 = \sigma_1 s_2 - \sigma_2 s_1 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\)
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 = \sigma_1^4 - 4\sigma_1^2\sigma_2 + 2\sigma_2^2\)
Αναδρομική σχέση για \(k \geq 2\):
\[ s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} \]
📝 Newton's Identities για 3 Μεταβλητές
Για \(x, y, z\) με \(\sigma_1 = x+y+z, \sigma_2 = xy+yz+zx, \sigma_3 = xyz\):
\(s_1 = \sigma_1\)
\(s_2 = \sigma_1 s_1 - 2\sigma_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
\(s_3 = \sigma_1 s_2 - \sigma_2 s_1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1\)
Αναδρομική σχέση για \(k \geq 3\):
\[ s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} + \sigma_3 s_{k-3} \]
\(s_1 = \sigma_1\)
\(s_2 = \sigma_1 s_1 - 2\sigma_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\)
\(s_3 = \sigma_1 s_2 - \sigma_2 s_1 + 3\sigma_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1\)
Αναδρομική σχέση για \(k \geq 3\):
\[ s_k = \sigma_1 s_{k-1} - \sigma_2 s_{k-2} + \sigma_3 s_{k-3} \]
📚 4. Αναλυτικά Παραδείγματα
🔹 Παράδειγμα 1: Symmetric System (E7 στυλ)
Πρόβλημα: Λύστε το σύστημα:
\[ x^3 + y^3 = 33, \quad x + y = 3 \]
Λύση:
Βήμα 1: Εισαγωγή Symmetric Functions
Θέτουμε:
\(\sigma_1 = x + y = 3\)
\(\sigma_2 = xy\) (άγνωστο)
Γνωρίζουμε:
\(s_1 = x + y = 3\)
\(s_3 = x^3 + y^3 = 33\)
Θέτουμε:
\(\sigma_1 = x + y = 3\)
\(\sigma_2 = xy\) (άγνωστο)
Γνωρίζουμε:
\(s_1 = x + y = 3\)
\(s_3 = x^3 + y^3 = 33\)
Βήμα 2: Newton's Identity
Από την ταυτότητα:
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 \]
Έχουμε:
\[ 33 = 3^3 - 3 \cdot 3 \cdot \sigma_2 \]
\[ 33 = 27 - 9\sigma_2 \]
\[ 9\sigma_2 = -6 \]
\[ \sigma_2 = -\frac{2}{3} \]
Από την ταυτότητα:
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 \]
Έχουμε:
\[ 33 = 3^3 - 3 \cdot 3 \cdot \sigma_2 \]
\[ 33 = 27 - 9\sigma_2 \]
\[ 9\sigma_2 = -6 \]
\[ \sigma_2 = -\frac{2}{3} \]
Βήμα 3: Λύση Τετραγωνικής
Τα \(x, y\) είναι ρίζες της:
\[ t^2 - \sigma_1 t + \sigma_2 = 0 \]
\[ t^2 - 3t - \frac{2}{3} = 0 \]
\[ 3t^2 - 9t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{105}}{6} \]
Απάντηση: \((x, y) = \left(\frac{9+\sqrt{105}}{6}, \frac{9-\sqrt{105}}{6}\right)\) ή αντίστροφα
Τα \(x, y\) είναι ρίζες της:
\[ t^2 - \sigma_1 t + \sigma_2 = 0 \]
\[ t^2 - 3t - \frac{2}{3} = 0 \]
\[ 3t^2 - 9t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 24}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{105}}{6} \]
🔹 Παράδειγμα 2: Radical Equation (E8 στυλ)
Πρόβλημα: Λύστε:
\[ \sqrt[3]{65-x} + \sqrt[3]{x} = 5 \]
Λύση:
Βήμα 1: Substitution
Θέτουμε:
\(y = \sqrt[3]{x}\)
\(z = \sqrt[3]{65-x}\)
Τότε:
• \(y + z = 5\) (δοσμένο)
• \(y^3 + z^3 = 65\) (αφού \(x + (65-x) = 65\))
Θέτουμε:
\(y = \sqrt[3]{x}\)
\(z = \sqrt[3]{65-x}\)
Τότε:
• \(y + z = 5\) (δοσμένο)
• \(y^3 + z^3 = 65\) (αφού \(x + (65-x) = 65\))
Βήμα 2: Symmetric Functions
\(\sigma_1 = y + z = 5\)
\(\sigma_2 = yz\) (άγνωστο)
Από \(y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\):
\[ 65 = 125 - 15\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = 4 \]
\(\sigma_1 = y + z = 5\)
\(\sigma_2 = yz\) (άγνωστο)
Από \(y^3 + z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\):
\[ 65 = 125 - 15\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = 4 \]
Βήμα 3: Τετραγωνική
Τα \(y, z\) είναι ρίζες της:
\[ t^2 - 5t + 4 = 0 \]
\[ (t-1)(t-4) = 0 \]
Άρα \(\{y,z\}=\{1,4\}\), οπότε \(x=y^3 \in \{1, 64\}\).
Απάντηση: \(x=1\) ή \(x=64\) (επαλήθευση: \(\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{1}=4+1=5\) ✓)
Τα \(y, z\) είναι ρίζες της:
\[ t^2 - 5t + 4 = 0 \]
\[ (t-1)(t-4) = 0 \]
Άρα \(\{y,z\}=\{1,4\}\), οπότε \(x=y^3 \in \{1, 64\}\).
🔹 Παράδειγμα 3: Compatibility (E9 στυλ)
Πρόβλημα: Βρείτε τη σχέση μεταξύ \(a, b, c\) αν το σύστημα έχει λύσεις:
\[ x + y = a, \quad x^2 + y^2 = b, \quad x^3 + y^3 = c \]
Λύση:
Βήμα 1: Express σε Symmetric
\(\sigma_1 = x + y = a\)
\(\sigma_2 = xy\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ b = a^2 - 2\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = \frac{a^2 - b}{2} \]
\(\sigma_1 = x + y = a\)
\(\sigma_2 = xy\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ b = a^2 - 2\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = \frac{a^2 - b}{2} \]
Βήμα 2: Τρίτη Συνθήκη
Από \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\):
\[ c = a^3 - 3a \cdot \frac{a^2-b}{2} \]
\[ c = a^3 - \frac{3a^3 - 3ab}{2} \]
\[ 2c = 2a^3 - 3a^3 + 3ab \]
\[ 2c = -a^3 + 3ab \]
Απάντηση: Η σχέση είναι \(a^3 - 3ab + 2c = 0\)
Από \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2\):
\[ c = a^3 - 3a \cdot \frac{a^2-b}{2} \]
\[ c = a^3 - \frac{3a^3 - 3ab}{2} \]
\[ 2c = 2a^3 - 3a^3 + 3ab \]
\[ 2c = -a^3 + 3ab \]
🔹 Παράδειγμα 4: System για 3 Μεταβλητές (E10 στυλ)
Πρόβλημα: Λύστε:
\[ x + y + z = a, \quad x^2 + y^2 + z^2 = b^2, \quad x^3 + y^3 + z^3 = a^3 \]
Λύση:
Βήμα 1: Symmetric Functions
\(\sigma_1 = a\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ b^2 = a^2 - 2\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = \frac{a^2 - b^2}{2} \]
\(\sigma_1 = a\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ b^2 = a^2 - 2\sigma_2 \]
\[ \sigma_2 = \frac{a^2 - b^2}{2} \]
Βήμα 2: Newton για s₃
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 \]
\[ a^3 = a^3 - 3a \cdot \frac{a^2-b^2}{2} + 3\sigma_3 \]
\[ 0 = -\frac{3a(a^2-b^2)}{2} + 3\sigma_3 \]
\[ \sigma_3 = \frac{a(a^2-b^2)}{2} \]
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 \]
\[ a^3 = a^3 - 3a \cdot \frac{a^2-b^2}{2} + 3\sigma_3 \]
\[ 0 = -\frac{3a(a^2-b^2)}{2} + 3\sigma_3 \]
\[ \sigma_3 = \frac{a(a^2-b^2)}{2} \]
Βήμα 3: Cubic
Τα \(x, y, z\) είναι ρίζες του:
\[ t^3 - at^2 + \frac{a^2-b^2}{2}t - \frac{a(a^2-b^2)}{2} = 0 \]
Παραγοντοποιούμε (\(t=a\) είναι πάντα ρίζα):
\[ (t-a)\left(t^2 + \frac{a^2-b^2}{2}\right) = 0 \]
Λύσεις: \(t = a\) ή \(t = \pm\sqrt{\frac{b^2-a^2}{2}}\)
Τα \(x, y, z\) είναι ρίζες του:
\[ t^3 - at^2 + \frac{a^2-b^2}{2}t - \frac{a(a^2-b^2)}{2} = 0 \]
Παραγοντοποιούμε (\(t=a\) είναι πάντα ρίζα):
\[ (t-a)\left(t^2 + \frac{a^2-b^2}{2}\right) = 0 \]
Λύσεις: \(t = a\) ή \(t = \pm\sqrt{\frac{b^2-a^2}{2}}\)
✅ Επαλήθευση: Για \(a=3, y=1, z=-1\) (άρα \(x=3\)): \(b^2=9+1+1=11\), και \(t_{2,3}=\pm\sqrt{(11-9)/2}=\pm1\) ✓ — ταιριάζει ακριβώς!
🔹 Παράδειγμα 5: Power Sum Calculation
Πρόβλημα: Αν \(x + y + z = 3\), \(xy + yz + zx = -1\), και \(xyz = 2\), βρείτε \(x^5 + y^5 + z^5\).
Λύση:
Λύση:
Βήμα 1: Αρχικές Τιμές
\(\sigma_1 = 3\), \(\sigma_2 = -1\), \(\sigma_3 = 2\)
\(s_1 = 3\)
\(\sigma_1 = 3\), \(\sigma_2 = -1\), \(\sigma_3 = 2\)
\(s_1 = 3\)
Βήμα 2: Υπολογισμός s₂
\[ s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = 9 - 2(-1) = 11 \]
\[ s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = 9 - 2(-1) = 11 \]
Βήμα 3: Υπολογισμός s₃
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 27 - 3(3)(-1) + 3(2) = 27 + 9 + 6 = 42 \]
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 27 - 3(3)(-1) + 3(2) = 27 + 9 + 6 = 42 \]
Βήμα 4: Αναδρομή για s₄
\[ s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1 \]
\[ = 3(42) - (-1)(11) + 2(3) = 126 + 11 + 6 = 143 \]
\[ s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1 \]
\[ = 3(42) - (-1)(11) + 2(3) = 126 + 11 + 6 = 143 \]
Βήμα 5: Αναδρομή για s₅
\[ s_5 = \sigma_1 s_4 - \sigma_2 s_3 + \sigma_3 s_2 \]
\[ = 3(143) - (-1)(42) + 2(11) = 429 + 42 + 22 = 493 \]
Απάντηση: \(x^5 + y^5 + z^5 = 493\)
\[ s_5 = \sigma_1 s_4 - \sigma_2 s_3 + \sigma_3 s_2 \]
\[ = 3(143) - (-1)(42) + 2(11) = 429 + 42 + 22 = 493 \]
🔹 Παράδειγμα 6: Nonlinear System (E11 στυλ)
Πρόβλημα: Λύστε (στους πραγματικούς αριθμούς):
\[ x + y + z = 1, \quad x^3 + y^3 + z^3 = 1, \quad xyz = x^4 + y^4 + z^4 + 1 \]
Λύση:
Βήμα 1: Πρώτη σχέση από τη \(s_3\)
\(\sigma_1 = 1\). Από \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\):
\[ 1 = 1 - 3\sigma_2 + 3\sigma_3 \;\Rightarrow\; \sigma_2 = \sigma_3 \]
Ονομάζουμε \(k := \sigma_2 = \sigma_3\).
\(\sigma_1 = 1\). Από \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\):
\[ 1 = 1 - 3\sigma_2 + 3\sigma_3 \;\Rightarrow\; \sigma_2 = \sigma_3 \]
Ονομάζουμε \(k := \sigma_2 = \sigma_3\).
Βήμα 2: Υπολογισμός \(s_4\) συναρτήσει του \(k\)
\(s_2 = \sigma_1^2-2\sigma_2 = 1-2k\).
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1 = 1\cdot1 - k(1-2k) + k\cdot1 = 1+2k^2\)
\(s_2 = \sigma_1^2-2\sigma_2 = 1-2k\).
\(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1 = 1\cdot1 - k(1-2k) + k\cdot1 = 1+2k^2\)
Βήμα 3: Τρίτη συνθήκη
Η συνθήκη \(xyz = x^4+y^4+z^4+1\) γράφεται \(\sigma_3 = s_4+1\):
\[ k = (1+2k^2)+1 = 2+2k^2 \;\Rightarrow\; 2k^2-k+2=0 \]
Διακρίνουσα: \(\Delta = 1 - 16 = -15 < 0\).
Η συνθήκη \(xyz = x^4+y^4+z^4+1\) γράφεται \(\sigma_3 = s_4+1\):
\[ k = (1+2k^2)+1 = 2+2k^2 \;\Rightarrow\; 2k^2-k+2=0 \]
Διακρίνουσα: \(\Delta = 1 - 16 = -15 < 0\).
🎓 Συμπέρασμα: Δεν υπάρχει πραγματικό \(k\) που να ικανοποιεί την εξίσωση — άρα το σύστημα δεν έχει πραγματική λύση \((x,y,z)\)! Αυτό είναι ένα χρήσιμο μάθημα: όχι κάθε σύστημα με "όμορφη" εμφάνιση έχει λύση· ο έλεγχος της διακρίνουσας στο τέλος είναι απαραίτητος.
🔹 Παράδειγμα 7: Advanced Identity
Πρόβλημα: Δείξτε ότι αν \(x + y + z = 0\), τότε:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \]
Απόδειξη:
Μέθοδος 1: Άμεση
Από την ταυτότητα:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
Αφού \(x+y+z = 0\), η δεξιά πλευρά είναι 0, άρα:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \quad \checkmark \]
Από την ταυτότητα:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
Αφού \(x+y+z = 0\), η δεξιά πλευρά είναι 0, άρα:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \quad \checkmark \]
Μέθοδος 2: Newton's Identities
\(\sigma_1 = x + y + z = 0\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Από Newton:
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 0 - 0 + 3\sigma_3 = 3xyz \quad \checkmark \]
\(\sigma_1 = x + y + z = 0\)
\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)
\(\sigma_3 = xyz\)
Από Newton:
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 0 - 0 + 3\sigma_3 = 3xyz \quad \checkmark \]
🚨 Συχνά Λάθη & Tips
⚠️ Common Mistakes
Λάθος 1: Σύγχυση Reciprocal με Symmetric
❌ "Κάθε reciprocal polynomial είναι symmetric"
✅ Reciprocal αναφέρεται σε πολυώνυμα μίας μεταβλητής, symmetric σε πολλές!
Λάθος 2: Λάθος Substitution
❌ Για \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), χρησιμοποιώ \(z = x + \frac{1}{x}\) και παίρνω \(z\)
✅ Το σωστό: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2\), όχι απλά \(z\)!
Λάθος 3: Elementary vs Power
❌ Σύγχυση \(\sigma_2\) (elementary) με \(s_2\) (power sum)
✅ \(\sigma_2 = xy + yz + zx\) ενώ \(s_2 = x^2 + y^2 + z^2\) - πολύ διαφορετικά!
Λάθος 4: Πρόσημα στη Newton
❌ \(s_3 = \sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
✅ \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\) (προσοχή στα πρόσημα!)
Λάθος 1: Σύγχυση Reciprocal με Symmetric
❌ "Κάθε reciprocal polynomial είναι symmetric"
✅ Reciprocal αναφέρεται σε πολυώνυμα μίας μεταβλητής, symmetric σε πολλές!
Λάθος 2: Λάθος Substitution
❌ Για \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), χρησιμοποιώ \(z = x + \frac{1}{x}\) και παίρνω \(z\)
✅ Το σωστό: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = z^2 - 2\), όχι απλά \(z\)!
Λάθος 3: Elementary vs Power
❌ Σύγχυση \(\sigma_2\) (elementary) με \(s_2\) (power sum)
✅ \(\sigma_2 = xy + yz + zx\) ενώ \(s_2 = x^2 + y^2 + z^2\) - πολύ διαφορετικά!
Λάθος 4: Πρόσημα στη Newton
❌ \(s_3 = \sigma_1^3 + 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\)
✅ \(s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3\) (προσοχή στα πρόσημα!)
🏆 GRAND CHALLENGE - Part 3
🎯 ULTIMATE SYMMETRY CHALLENGE
Πρόβλημα (IMO-style): Λύστε το σύστημα:
Πρόβλημα (IMO-style): Λύστε το σύστημα:
\[ x + y + z = 6 \]
\[ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \]
\[ x^4 + y^4 + z^4 = 98 \]
🎁 Hints σε 4 Επίπεδα:
🥉 Hint 1: Βρείτε το \(\sigma_2 = xy + yz + zx\) από τις δύο πρώτες εξισώσεις.
🥈 Hint 2: Υπολογίστε το \(s_4\) χρησιμοποιώντας Newton's identity.
🥇 Hint 3: Η διαφορά μεταξύ του υπολογισμένου και του δοσμένου \(s_4\) θα σας δώσει το \(\sigma_3\).
💎 Hint 4: Λύστε την κυβική \(t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0\).
📮 Πλήρης Λύση:
Βήμα 1: Βρίσκουμε σ₂
\(\sigma_1 = 6\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ 14 = 36 - 2\sigma_2 \Rightarrow \sigma_2 = 11 \]
Βήμα 2: Υπολογισμός s₃
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 216 - 198 + 3\sigma_3 = 18 + 3\sigma_3 \]
Βήμα 3: Υπολογισμός s₄ (θεωρητικά)
Από Newton: \(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1\)
\[ s_4 = 6(18+3\sigma_3) - 11(14) + 6\sigma_3 \]
\[ s_4 = 108 + 18\sigma_3 - 154 + 6\sigma_3 = -46 + 24\sigma_3 \]
Αλλά δίνεται \(s_4 = 98\), άρα:
\[ 98 = -46 + 24\sigma_3 \Rightarrow \sigma_3 = 6 \]
Βήμα 4: Κυβική Εξίσωση
Τα \(x, y, z\) είναι ρίζες της:
\[ t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0 \]
Δοκιμάζουμε \(t = 1\): \(1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓
Διαίρεση:
\[ (t-1)(t^2 - 5t + 6) = (t-1)(t-2)(t-3) = 0 \]
Απάντηση: \((x, y, z) = (1, 2, 3)\) και οι μεταθέσεις τους
✅ Επαλήθευση: \(1+2+3=6\) ✓, \(1+4+9=14\) ✓, \(1+16+81=98\) ✓
Βήμα 1: Βρίσκουμε σ₂
\(\sigma_1 = 6\)
Από \(s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2\):
\[ 14 = 36 - 2\sigma_2 \Rightarrow \sigma_2 = 11 \]
Βήμα 2: Υπολογισμός s₃
\[ s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3 = 216 - 198 + 3\sigma_3 = 18 + 3\sigma_3 \]
Βήμα 3: Υπολογισμός s₄ (θεωρητικά)
Από Newton: \(s_4 = \sigma_1 s_3 - \sigma_2 s_2 + \sigma_3 s_1\)
\[ s_4 = 6(18+3\sigma_3) - 11(14) + 6\sigma_3 \]
\[ s_4 = 108 + 18\sigma_3 - 154 + 6\sigma_3 = -46 + 24\sigma_3 \]
Αλλά δίνεται \(s_4 = 98\), άρα:
\[ 98 = -46 + 24\sigma_3 \Rightarrow \sigma_3 = 6 \]
Βήμα 4: Κυβική Εξίσωση
Τα \(x, y, z\) είναι ρίζες της:
\[ t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0 \]
Δοκιμάζουμε \(t = 1\): \(1 - 6 + 11 - 6 = 0\) ✓
Διαίρεση:
\[ (t-1)(t^2 - 5t + 6) = (t-1)(t-2)(t-3) = 0 \]
Απάντηση: \((x, y, z) = (1, 2, 3)\) και οι μεταθέσεις τους
✅ Επαλήθευση: \(1+2+3=6\) ✓, \(1+4+9=14\) ✓, \(1+16+81=98\) ✓
📊 Strategy & Σύνοψη
🎓 Πότε Χρησιμοποιούμε Ποια Τεχνική;
💡 Golden Rules:
1️⃣ Reciprocal → substitution \(z = x + \frac{1}{x}\) μειώνει τον βαθμό κατά 2!
2️⃣ Symmetric systems → πάντα θέτουμε \(\sigma_1, \sigma_2, \ldots\)
3️⃣ Power sums → χρησιμοποιούμε Newton για αναδρομή
4️⃣ Για \(n\) μεταβλητές χρειαζόμαστε \(n\) εξισώσεις
5️⃣ Πάντα ελέγχουμε τα πρόσημα στις Newton's identities! Και πάντα ελέγχουμε αν η τελική εξίσωση/διακρίνουσα έχει πραγματικές λύσεις.
| Πρόβλημα | Τεχνική |
|---|---|
| Reciprocal polynomial άρτιου βαθμού | Substitution \(z = x + \frac{1}{x}\) |
| Reciprocal περιττού βαθμού | Βρες παράγοντα \((x+1)\), μείωσε βαθμό |
| Σύστημα συμμετρικό σε 2 μεταβλητές | Θέσε \(\sigma_1, \sigma_2\), φτιάξε τετραγωνική |
| Σύστημα συμμετρικό σε 3 μεταβλητές | Θέσε \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\), φτιάξε κυβική |
| Υπολογισμός \(x^k + y^k + z^k\) | Newton's Identities (αναδρομή) |
| Απόδειξη ταυτότητας με άθροισμα | Χρήση elementary symmetric polynomials |
💡 Golden Rules:
1️⃣ Reciprocal → substitution \(z = x + \frac{1}{x}\) μειώνει τον βαθμό κατά 2!
2️⃣ Symmetric systems → πάντα θέτουμε \(\sigma_1, \sigma_2, \ldots\)
3️⃣ Power sums → χρησιμοποιούμε Newton για αναδρομή
4️⃣ Για \(n\) μεταβλητές χρειαζόμαστε \(n\) εξισώσεις
5️⃣ Πάντα ελέγχουμε τα πρόσημα στις Newton's identities! Και πάντα ελέγχουμε αν η τελική εξίσωση/διακρίνουσα έχει πραγματικές λύσεις.
🎊 Συγχαρητήρια!
Ολοκληρώσατε το Part 3 του Polynomials Marathon!
Τι κατακτήσατε:
✅ Reciprocal Polynomials & substitution
✅ Symmetric Polynomials (elementary)
✅ Power Sums & Newton's Identities
✅ Reduction techniques
✅ 7 IMO-level παραδείγματα
✅ Complete mastery of symmetry!
Ολοκληρώσατε το Part 3 του Polynomials Marathon!
Τι κατακτήσατε:
✅ Reciprocal Polynomials & substitution
✅ Symmetric Polynomials (elementary)
✅ Power Sums & Newton's Identities
✅ Reduction techniques
✅ 7 IMO-level παραδείγματα
✅ Complete mastery of symmetry!
📅 Επόμενο & ΤΕΛΙΚΟ Part:
Part 4 FINALE: Advanced Techniques & IMO Problems
Η κορυφή του Όλυμπου σας περιμένει! 🏔️
Part 4 FINALE: Advanced Techniques & IMO Problems
Η κορυφή του Όλυμπου σας περιμένει! 🏔️
🔗 Αν σου διέφυγε: Part 2 - Vieta's Formulas & Roots of Unity
Μείνετε συντονισμένοι...
Το Grand Finale έρχεται! 🚀💜
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου