2026 Math Marathon: Συναρτησιακές Εξισώσεις Η Εξίσωση του D'Alembert & Τριγωνομετρικές Λύσεις

🏃‍♂️ 2026 MATH MARATHON - FUNCTIONAL EQUATIONS #2

Functional Equations Mastery

Part 2: D'Alembert & Trigonometric - Η Εξίσωση του Κόσμου

🔗 Σύνδεση με Part 1:
Part 1: Cauchy (Additive & Multiplicative), Jensen, Logarithmic, Exponential
Part 2 (σήμερα): D'Alembert's Equation - Τριγωνομετρικές Λύσεις!

Τι θα μάθετε σήμερα:
✅ D'Alembert's Equation \(f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)\)
✅ Πλήρης λύση με 2 cases (E7 - masterpiece!)
✅ Cosine solution: \(f(x) = \cos(cx)\)
✅ Hyperbolic cosine: \(f(x) = \cosh(cx)\)
✅ Even function properties
✅ Differentiation technique
✅ 6-7 αναλυτικά παραδείγματα
✅ Induction for rational arguments

🤔 Ερώτηση Προβληματισμού:
Γιατί η εξίσωση D'Alembert οδηγεί σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις; Επειδή το \(\cos\) και το \(\cosh\) έχουν την ιδιότητα να "αθροίζουν" γωνίες με συγκεκριμένο τρόπο! Αυτό είναι το μυστικό της δύναμής τους.

📐 1. D'Alembert's Equation - Η Βασίλισσα

👑 Η Εξίσωση του D'Alembert

Η εξίσωση του D'Alembert είναι μια από τις πιο όμορφες functional equations:

\[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) \]

για κάθε \(x, y \in \mathbb{R}\).

Γιατί είναι σημαντική;
• Εμφανίζεται σε προβλήματα φυσικής (κύματα, δονήσεις)
• Συνδέεται με τριγωνομετρία
• Έχει πανέμορφη λύση!
• Είναι αγαπημένη σε IMO/Olympiads

🎯 2. Βασικές Ιδιότητες

📌 Βήμα 1: Βρίσκουμε f(0)

Θέτοντας \(x = y = 0\) στην εξίσωση:
\[ f(0+0) + f(0-0) = 2f(0)f(0) \]
\[ f(0) + f(0) = 2f(0)^2 \]
\[ 2f(0) = 2f(0)^2 \]
\[ f(0) = f(0)^2 \]
\[ f(0)(f(0) - 1) = 0 \]

Άρα: \(f(0) = 0\) ή \(f(0) = 1\)

📌 Βήμα 2: Η f είναι Άρτια (Even Function)

Θέτοντας \(x = 0\) στην αρχική εξίσωση:
\[ f(0+y) + f(0-y) = 2f(0)f(y) \]
\[ f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y) \]

Περίπτωση (a): Αν \(f(0) = 0\)
\[ f(y) + f(-y) = 0 \]
\[ f(-y) = -f(y) \]

Άρα η \(f\) είναι περιττή. Αλλά θέτοντας \(y = 0\): \(f(-0) = -f(0) \Rightarrow f(0) = -f(0) \Rightarrow f(0) = 0\) ✓

Από την αρχική εξίσωση με \(y = 0\):
\[ f(x) + f(x) = 2f(x) \cdot 0 = 0 \]
\[ 2f(x) = 0 \]
\[ f(x) = 0 \text{ για κάθε } x \]

Άρα η τετριμμένη λύση \(f \equiv 0\).

Περίπτωση (b): Αν \(f(0) = 1\)
\[ f(y) + f(-y) = 2 \cdot 1 \cdot f(y) = 2f(y) \]
\[ f(-y) = f(y) \]

Άρα η \(f\) είναι άρτια συνάρτηση!

💡 Συμπέρασμα μέχρι τώρα:

Για μη τετριμμένες λύσεις:
• \(f(0) = 1\)
• \(f(-x) = f(x)\) (άρτια συνάρτηση)

Τώρα ψάχνουμε ποιες άρτιες συναρτήσεις με \(f(0) = 1\) ικανοποιούν την D'Alembert!

🔥 3. The MASTERPIECE - Complete Solution (E7)

🏆 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: D'Alembert Equation - Πλήρης Λύση (E7) Πρόβλημα: Βρείτε όλες τις συνεχείς λύσεις της:

\[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) \]

Λύση (The Epic Journey):

Από τα προηγούμενα: \(f(0) = 1\), \(f(-x) = f(x)\) (άρτια).

Βήμα 3: Για x = y

Θέτοντας \(y = x\):
\[ f(2x) + f(0) = 2f(x)^2 \]
\[ f(2x) + 1 = 2f(x)^2 \]
\[ f(2x) = 2f(x)^2 - 1 \]

Αυτή είναι η ταυτότητα διπλασιασμού!
(Θυμίζει: \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\))

Βήμα 4: Checking Cosine

Δοκιμάζουμε \(f(x) = \cos(cx)\) για κάποιο \(c\):
\[ \cos(c(x+y)) + \cos(c(x-y)) = 2\cos(cx)\cos(cy) \]

Από τριγωνομετρικές ταυτότητες:
\[ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Με \(A = c(x+y)\), \(B = c(x-y)\):
\[ \cos(c(x+y)) + \cos(c(x-y)) = 2\cos(cx)\cos(cy) \quad \checkmark \]

Άρα \(f(x) = \cos(cx)\) είναι λύση!

Βήμα 5: Είναι η μοναδική;

Όχι! Υπάρχει και το \(\cosh\):
\[ f(x) = \cosh(cx) = \frac{e^{cx} + e^{-cx}}{2} \]

Verification:
\[ \cosh(c(x+y)) + \cosh(c(x-y)) = 2\cosh(cx)\cosh(cy) \]

(Από τις ταυτότητες του hyperbolic cosine)

📊 Πώς Διαχωρίζουμε τις Δύο Περιπτώσεις;

🎯 Case Analysis

Το κλειδί είναι να δούμε τις τιμές της \(f\)!

Παρατήρηση: Θέτουμε \(y = x\) στην αρχική:
\[ f(2x) = 2f(x)^2 - 1 \]

Αν υπάρχει \(a \neq 0\) τέτοιο ώστε \(f(a)\) να είναι γνωστό, μπορούμε να προσδιορίσουμε ποια περίπτωση ισχύει!

📐 CASE 1: \(f(a) \leq 1\) για κάποιο \(a > 0\)

Αφού \(\cos\) είναι μια-προς-μία (injective) και επί (surjective) πάνω στο \([0,\pi]\), με τιμές που καλύπτουν ακριβώς το \([-1,1]\), υπάρχει μοναδικό \(c \in [0, \pi]\) τέτοιο ώστε:
\[ f(a) = \cos c \]

(Σημείωση: το εύρος του \(c\) είναι το σταθερό \([0,\pi]\) — δεν εξαρτάται από το \(a\)! Το \(a\) μπαίνει στο παιχνίδι μόνο αργότερα, μέσω του \(b = c/a\).)

Θα δείξουμε ότι \(f(x) = \cos\left(\frac{c}{a}x\right)\) για κάθε \(x\).

Induction για Rationals:

Για \(x = a\): Ισχύει από ορισμό. ✓

Για \(x = 2a\):
\[ f(2a) = 2f(a)^2 - 1 = 2\cos^2 c - 1 = \cos(2c) = \cos\left(\frac{c}{a} \cdot 2a\right) \quad \checkmark \]

Γενικά, για \(x = na\): Επαγωγικά,
\[ f(na) = \cos(nc) = \cos\left(\frac{c}{a} \cdot na\right) \]

Για \(x = \frac{m}{n}a\): Από την αρχική εξίσωση με clever substitutions:
\[ f\left(\frac{m}{n}a\right) = \cos\left(\frac{mc}{n}\right) = \cos\left(\frac{c}{a} \cdot \frac{m}{n}a\right) \]

Extension to Reals by Continuity:

Αφού η \(f\) είναι συνεχής και \(f(r) = \cos\left(\frac{c}{a}r\right)\) για κάθε \(r \in \mathbb{Q}\), και οι ρητοί είναι πυκνοί στους πραγματικούς:
\[ f(x) = \cos\left(\frac{c}{a}x\right) \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R} \]

Θέτοντας \(b = c/a\):
\[ f(x) = \cos(bx) \]

📐 CASE 2: \(f(a) > 1\) για κάποιο \(a > 0\)

Τότε υπάρχει μοναδικό \(c > 0\) τέτοιο ώστε:
\[ f(a) = \cosh c \]

Ακολουθώντας παρόμοια λογική με Case 1 (με \(\cosh\) αντί για \(\cos\)):
\[ f(x) = \cosh(bx) \]

όπου \(b = c/a\).

🎊 ΠΛΗΡΗΣ ΛΥΣΗ D'ALEMBERT

Οι συνεχείς λύσεις της εξίσωσης του D'Alembert:

\[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) \]

είναι:

1. \(f(x) = 0\) (τετριμμένη)

2. \(f(x) = \cos(bx)\) για οποιοδήποτε \(b \in \mathbb{R}\)

3. \(f(x) = \cosh(bx)\) για οποιοδήποτε \(b \in \mathbb{R}\)
(όπου \(\cosh(bx) = \frac{e^{bx} + e^{-bx}}{2}\))

🎓 Παρατήρηση: Το \(b = 0\) δίνει \(f(x) = 1\) και στις δύο περιπτώσεις!

⚡ 4. Differentiation Technique

🔧 Alternative Method: Χρήση Παραγώγων

Υπόθεση: Η \(f\) είναι δύο φορές διαφορίσιμη.

Από \(f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)\), παραγωγίζουμε ως προς \(x\):
\[ f'(x+y) + f'(x-y) = 2f'(x)f(y) \]

Θέτοντας \(y = 0\):
\[ f'(x) + f'(x) = 2f'(x)f(0) = 2f'(x) \cdot 1 \]
\[ 2f'(x) = 2f'(x) \]

Αυτό δεν βοηθάει. Ας δοκιμάσουμε διαφορετικά!

Better Approach: Παραγωγίζουμε ως προς \(y\):
\[ f'(x+y) - f'(x-y) = 2f(x)f'(y) \]

Θέτοντας \(y = 0\):
\[ f'(x) - f'(x) = 2f(x)f'(0) \]
\[ 0 = 2f(x)f'(0) \]

Άρα \(f'(0) = 0\) (αφού \(f\) δεν είναι ταυτοτικά μηδέν).

Παραγωγίζουμε πάλι ως προς \(x\):
\[ f''(x+y) + f''(x-y) = 2f''(x)f(y) \]

Θέτοντας \(y = 0\):
\[ f''(x) + f''(x) = 2f''(x) \cdot 1 \]
\[ 2f''(x) = 2f''(x) \]

Πάλι τίποτα! Χρειαζόμαστε πιο έξυπνη προσέγγιση...

The Trick: Από την αρχική με \(y = x\):
\[ f(2x) = 2f(x)^2 - 1 \]

Παραγωγίζουμε:
\[ 2f'(2x) = 4f(x)f'(x) \]
\[ f'(2x) = 2f(x)f'(x) \]

Παραγωγίζουμε πάλι:
\[ 2f''(2x) = 2f'(x)^2 + 2f(x)f''(x) \]
\[ f''(2x) = f'(x)^2 + f(x)f''(x) \]

Θέτοντας \(x = 0\):
\[ f''(0) = f'(0)^2 + f(0)f''(0) = 0 + 1 \cdot f''(0) \]
\[ 0 = 0 \]

[Η μέθοδος αυτή οδηγεί σε διαφορική εξίσωση \(f''(x) = -c^2f(x)\) ή \(f''(x) = c^2f(x)\)]

📚 5. Επιπλέον Παραδείγματα

🔹 Παράδειγμα 2: Verification που λειτουργεί Πρόβλημα: Επαληθεύστε ότι \(f(x) = \cos(3x)\) ικανοποιεί την D'Alembert.

Λύση:

LHS:
\[ f(x+y) + f(x-y) = \cos(3(x+y)) + \cos(3(x-y)) \]
\[ = \cos(3x+3y) + \cos(3x-3y) \]

Από \(\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\):
\[ = 2\cos\left(\frac{(3x+3y)+(3x-3y)}{2}\right)\cos\left(\frac{(3x+3y)-(3x-3y)}{2}\right) \]
\[ = 2\cos(3x)\cos(3y) \]

RHS:
\[ 2f(x)f(y) = 2\cos(3x)\cos(3y) \]

LHS = RHS ✓

🔹 Παράδειγμα 3: Hyperbolic Verification Πρόβλημα: Επαληθεύστε ότι \(f(x) = \cosh(2x)\) ικανοποιεί την D'Alembert.

Λύση:

Υπενθύμιση:
\[ \cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B \]
\[ \cosh(A-B) = \cosh A \cosh B - \sinh A \sinh B \]

Προσθέτοντας:
\[ \cosh(A+B) + \cosh(A-B) = 2\cosh A \cosh B \]

LHS:
\[ f(x+y) + f(x-y) = \cosh(2(x+y)) + \cosh(2(x-y)) \]
\[ = 2\cosh(2x)\cosh(2y) \]

RHS:
\[ 2f(x)f(y) = 2\cosh(2x)\cosh(2y) \]

LHS = RHS ✓

🔹 Παράδειγμα 4: Βρες την Σταθερά Πρόβλημα: Η συνάρτηση \(f(x) = \cos(bx)\) ικανοποιεί την D'Alembert και \(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Βρείτε το \(b\).

Λύση:

\[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(b \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Γνωρίζουμε ότι \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Άρα:
\[ b \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{ή} \quad b \cdot \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Για την πρώτη:
\[ b = 1 + 12k \]

Για τη δεύτερη:
\[ b = -1 + 12k \]

Απλούστερες λύσεις: \(b = 1\) ή \(b = -1\).

🔹 Παράδειγμα 5: Η "Αδερφή" Εξίσωση του Sine Πρόβλημα: Επαληθεύστε την ταυτότητα:

\[ \sin(c(x+y)) - \sin(c(x-y)) = 2\cos(cx)\sin(cy) \]

Λύση:

Από την ταυτότητα διαφοράς ημιτόνων \(\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\), με \(A=c(x+y)\), \(B=c(x-y)\):

\[ \frac{A+B}{2} = cx, \qquad \frac{A-B}{2} = cy \]

Άρα:
\[ \sin(c(x+y)) - \sin(c(x-y)) = 2\cos(cx)\sin(cy) \quad \checkmark \]

💡 Προσοχή στη δομή: Παρατηρήστε ότι εδώ ο παράγοντας που πολλαπλασιάζει το \(\sin(cy)\) είναι το \(\cos(cx)\) — όχι το \(\sin(cx)\)! Αν προσπαθήσουμε να γράψουμε μια εξίσωση της μορφής "\(f(x+y)-f(x-y)=2f(x)g(y)\)" με \(f=\sin\) και \(g=\sin\), δεν λειτουργεί (θα χρειαζόταν \(f(x)=\cos(cx)\) ως συντελεστής, όχι \(f(x)=\sin(cx)\) το ίδιο). Το σωστό ζευγάρι συναρτήσεων εμφανίζεται μαζί, ως σύστημα \(f=\sin, g=\cos\) — κάτι που θα δούμε αναλυτικά σε επόμενο Part.

📊 6. Trigonometric Identities Review

🎯 Essential Trig Identities

Identity	Formula
Sum-to-Product (Cos)	\(\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
Difference-to-Product (Sin)	\(\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
Double Angle (Cos)	\(\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1\)
Hyperbolic Sum	\(\cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B\)
Hyperbolic Difference	\(\cosh(A-B) = \cosh A \cosh B - \sinh A \sinh B\)
Hyperbolic Double	\(\cosh(2x) = 2\cosh^2 x - 1\)

🚨 Common Mistakes & Tips

⚠️ Τα 5 Πιο Συχνά Λάθη

1. Ξεχνάμε την τετριμμένη λύση
❌ "Οι λύσεις είναι μόνο \(\cos\) και \(\cosh\)"
✅ Μη ξεχνάτε το \(f \equiv 0\)!

2. Συγχέουμε \(\cos\) με \(\cosh\)
❌ "\(\cosh\) είναι bounded όπως το \(\cos\)"
✅ \(\cosh x \geq 1\) για κάθε \(x\), ενώ \(|\cos x| \leq 1\)

3. Λάθος domain
❌ "Το \(\cos\) παίρνει όλες τις τιμές"
✅ Range του \(\cos\): \([-1, 1]\), Range του \(\cosh\): \([1, +\infty)\)

4. Παραλείπουμε τον έλεγχο άρτιας/περιττής
❌ Δεν ελέγχουμε \(f(-x)\) vs \(f(x)\)
✅ Πάντα ελέγχουμε συμμετρίες!

5. Case distinction
❌ "Όλες οι λύσεις είναι \(\cos\)"
✅ Χρειάζεται case analysis: \(f(a) \leq 1\) vs \(f(a) > 1\)

🏆 CHALLENGE PROBLEM - Part 2

🎯 THE CHALLENGE

Πρόβλημα: Βρείτε τη συνεχή συνάρτηση \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) που ικανοποιεί την εξίσωση του D'Alembert:

\[ f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) \]

με την επιπλέον συνθήκη \(f(1) = \dfrac{1}{2}\).

🎁 Hints σε 3 Επίπεδα:

🥉 Hint 1: Το \(f(1)=1/2\) ανήκει στο \((-1,1]\) — ποια Case εφαρμόζεται;

🥈 Hint 2: Βρες το \(c \in [0,\pi]\) με \(\cos c = 1/2\).

🥇 Hint 3: Χρησιμοποίησε \(f(x)=\cos(bx)\) με \(b=c/a\), όπου εδώ \(a=1\).

📮 Πλήρης Λύση:

Αφού \(f(1) = \frac{1}{2} \leq 1\), βρισκόμαστε στο Case 1 (συνημιτονοειδής λύση).

Ψάχνουμε \(c \in [0,\pi]\) με \(\cos c = \frac{1}{2}\). Γνωρίζουμε \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\), άρα \(c = \pi/3\).

Από τη θεωρία (με \(a=1\)): \(b = c/a = \pi/3\).

\[ f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]

Επαλήθευση: \(f(1) = \cos(\pi/3) = 1/2\) ✓, και η \(\cos\) ικανοποιεί πάντα την D'Alembert (Βήμα 4).

⚠️ Σημείωση διόρθωσης: Το αρχικό Challenge Problem ζητούσε τη λύση μιας "τροποποιημένης" εξίσωσης \(f(x+y)-f(x-y)=f(x)g(y)\) με \(g(y)=2\sin y\) — αλλά, όπως δείχνει το διορθωμένο Παράδειγμα 5 παραπάνω, το \(f=\sin\) δεν ικανοποιεί αυτή τη μορφή εξίσωσης με τον εαυτό του ως συντελεστή (χρειάζεται \(\cos\) εκεί). Το αρχικό κείμενο το παρατηρούσε κιόλας ("αυτό αντιφάσκει...") αλλά δεν το έλυνε. Αντικαταστήσαμε με ένα πλήρως λυμένο πρόβλημα που εφαρμόζει άμεσα την πλήρη θεωρία D'Alembert που μόλις μάθαμε.

📊 Strategy & Σύνοψη

🎓 Master Strategy για D'Alembert

Βήμα 1: Special Values
• Βρες \(f(0)\)
• Έλεγξε άρτια/περιττή

Βήμα 2: Doubling Formula
• Θέσε \(y = x\) για να πάρεις \(f(2x) = 2f(x)^2 - 1\)
• Αναγνώρισε \(\cos\) pattern

Βήμα 3: Guess and Check
• Δοκίμασε \(\cos(cx)\) ή \(\cosh(cx)\)
• Επαλήθευσε με trig identities

Βήμα 4: Case Analysis
• \(f(a) \leq 1\) → \(\cos\) solution
• \(f(a) > 1\) → \(\cosh\) solution

Βήμα 5: Continuity Extension
• Prove για rationals
• Extend με συνέχεια

🎊 Συγχαρητήρια!

Ολοκληρώσατε το Part 2 του Functional Equations Marathon!

Τι κατακτήσατε:
✅ D'Alembert's Equation (πλήρης λύση!)
✅ Cosine solution
✅ Hyperbolic cosine solution
✅ Even/odd properties
✅ Differentiation technique
✅ Trigonometric identities
✅ Case analysis methodology

📅 Επόμενο Part:
Part 3: Advanced Properties & Techniques
Continuity, Monotonicity, Boundedness! 🎯

Μείνετε συντονισμένοι...
Το ταξίδι συνεχίζεται προς την κορυφή! 🚀

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →