Στο διάστημα \( [-7,2] \) είναι ορισμένες οι συναρτήσεις
\[
f(x)=\sqrt{4x+28}=2\sqrt{x+7}
\quad\text{και}\quad
g(x)=-\sqrt{x+7}.
\]
Εξετάζουμε όλα τα τραπέζια \(ABCD\) με τις εξής ιδιότητες:
Τα σημεία \(A\) και \(D\) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \(f\).
Τα σημεία \(B\) και \(C\) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \(g\).
Οι βάσεις \(AB\) και \(CD\) είναι παράλληλες προς τον άξονα \(Oy\).
Ισχύει \( |AB| < |CD| \).
Μπορείτε να φανταστείτε ότι διαλέγουμε δύο διαφορετικές τιμές \(x_1,x_2\) στο διάστημα \([-7,2]\) και
«σηκώνουμε» κάθετα από τα σημεία αυτά ένα τμήμα ανάμεσα στις δύο καμπύλες.
Έτσι δημιουργείται ένα τραπέζιο.
Ερωτήματα
a) Έστω ότι η δεύτερη συντεταγμένη του σημείου \(B\) είναι \(-y\).
Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου \(ABCD\) δεν υπερβαίνει την ποσότητα
\[
P(y)=-\frac{3}{2}\bigl(y^3+3y^2-9y-27\bigr).
\]
b) Μεταξύ όλων των τραπεζίων που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες
και για τα οποία ισχύει \( |CD| > |AB| \),
να βρείτε:
τις συντεταγμένες των κορυφών του τραπεζίου με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν,
την τιμή αυτού του μέγιστου εμβαδού.
Μπορείτε να δουλέψετε αλγεβρικά (με συναρτήσεις και παραγώγους)
ή/και γεωμετρικά, ξεκινώντας από ένα προσεκτικά σχεδιασμένο σχήμα.
Trapezoids Between Two Square-Root Functions
On the interval \( [-7,2] \) we consider the functions
\[
f(x)=\sqrt{4x+28}=2\sqrt{x+7}
\quad\text{and}\quad
g(x)=-\sqrt{x+7}.
\]
We look at all trapezoids \(ABCD\) satisfying:
Vertices \(A\) and \(D\) lie on the graph of \(f\).
Vertices \(B\) and \(C\) lie on the graph of \(g\).
The bases \(AB\) and \(CD\) are parallel to the \(y\)-axis.
We have \( |AB| < |CD| \).
Think of choosing two distinct points \(x_1,x_2\) in \([-7,2]\) and drawing vertical segments
between the two curves. These four points form a trapezoid.
Questions
a) Suppose that the second coordinate of point \(B\) equals \(-y\).
Show that the area of trapezoid \(ABCD\) does not exceed
\[
P(y)=-\frac{3}{2}\bigl(y^3+3y^2-9y-27\bigr).
\]
b) Among all such trapezoids with \( |CD| > |AB| \), determine:
the coordinates of the vertices of the trapezoid with the largest possible area,
the value of this maximal area.
You may approach the problem algebraically (functions and derivatives)
and/or geometrically, starting from a carefully drawn diagram.
a.AB=3y,CD=9,υ=2-χ1=>Ε=(3y+9)(9-y^2)/2=3/2*(y+3)^2*(3-y)=-1,5(y^3+3y^2-9y-27)=P(y). Για το μέγιστο εμβαδό θεώρησα C(2,-3),D(2,6). b.Με το δεδομένο περιορισμό για τις βάσεις είναι y<3 που με το y>0 αποτελεί το ΠΟ της Ρ. Ισχύει Ρ΄(y)=-4,5(y^2+2y-3) με δεκτή ρίζα το 1 και Ρ΄(y)>0 στο (0,1), Ρ΄(y)<0 στο (1,3), που σημαίνει ότι η Ρ έχει μέγιστο στο y=1 τo P(1)=48.
1 σχόλιο:
a.AB=3y,CD=9,υ=2-χ1=>Ε=(3y+9)(9-y^2)/2=3/2*(y+3)^2*(3-y)=-1,5(y^3+3y^2-9y-27)=P(y). Για το μέγιστο εμβαδό θεώρησα C(2,-3),D(2,6).
ΑπάντησηΔιαγραφήb.Με το δεδομένο περιορισμό για τις βάσεις είναι y<3 που με το y>0 αποτελεί το ΠΟ της Ρ. Ισχύει Ρ΄(y)=-4,5(y^2+2y-3) με δεκτή ρίζα το 1 και Ρ΄(y)>0 στο (0,1), Ρ΄(y)<0 στο (1,3), που σημαίνει ότι η Ρ έχει μέγιστο στο y=1 τo P(1)=48.