Σάββατο 23 Απριλίου 2022

Από το Κίεβο

Έστω $a,b,c>0$ και $abc\ge1.$ Να αποδειχθεί ότι 
$$a^4+b^3+c^2\ge a^3+b^2+c.$$
Kyiv Mathematical Festival 2019

2 σχόλια:

  1. Αν a>2 ή b>2 ή c>2 , τότε προφανώς a^4 + b^3 + c^2 - a^3 - b^2 - c>0. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(a,b,c)=a^4 + b^3 + c^2 - a^3 - b^2 - c στο συμπαγές σύνολο Σ=(abc≥1 και a,b,c>0 και a,b,c≤2). Αφού το Σ είναι συμπαγές η f έχει ελάχιστο σε αυτό. Αν το ελάχιστο είναι σε εσωτερικό σημείο (ao,bo,co), τότε fa(ao,bo,co)=fb(ao,bo,co)=fc(ao,bo,co)=0 και επομένως a<3/4, bo<2/3, co<1/2, άτοπο. Άρα το ελάχιστο είναι στο σύνορο. Στο τμήμα του συνόρου που περιγράφεται από το σύνολο Τ1=(abc≥1 και a=2 και 00 και μάλιστα αφού είναι συμπαγές υπάρχει δ>0 ώστε f>δ. Ομοίως για τα σύνολα Τ2=(abc≥1 και b=2 και 01, b,c>1, άτοπο αφού abc=1. Άρα a=1. Ομοίως b=c=1. f(1,1,1)=0. Στο σύνορο του Τ4 ως υποσυνόλου του Τ5=(abc=1) με τη σχετική τοπολογία ισχύει f>δ>0 ( είναι τμήμα των συνόλων Τ1, Τ2, Τ3). Επομένως η f έχει ελάχιστο το 0 στο (1,1,1).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Δεν ξέρω τι συμβαίνει και κόβεται συνέχεια τμήμα του κειμένου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή