Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και $MNPQ$ ένα ορθογώνιο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο, με $M, N ∈ BC$, $P ∈ AC$, $Q ∈ AB$. Να αποδειχθεί ότι
$(MNPQ) ≤\frac{1}{2}(ABC)$.
Dorin Andrica (Romania)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
4 σχόλια:
Έστω α το μήκος της πλευράς BC και υα το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου από το Α στην πλευρά BC.
ΑπάντησηΔιαγραφή(ΑΒ)=(1/2)α*υα
Παίρνω ένα σημείο Χ πάνω στο υα και έστω ότι το μήκος ΑΧ ισούται με χ μέρη του ύψους υα.
Εξετάζω το τυχαίο ορθογώνιο του οποίου η πλευρά PQ διέρχεται από το Χ.
QM=PN=(1-x)*υα και PQ=MN=χ*α,
άρα (MNPQ)=(1-x)*υα*χ*α=χ*(1-χ)*α*υα
Η παράσταση χ*(1-χ) για 0<χ<1 έχει μέγιστο 1/4 για χ=1/2 και οι υπόλοιπες τιμές είναι μικρότερες του 1/4 και μάλιστα για χ τείνον στο 0 ή στο 1 τείνει στο 0.
Συνεπώς (MNPQ)<=1/2(ABC) ο.ε.δ
Το = ισχύει, όπως φάνηκε παραπάνω όταν χ=1/2, δηλαδή όταν η PQ περνάει από το μέσον του ύψους υα.
Επίσης η γωνία Α μπορεί να είναι όχι μόνον οξεία αλλά είτε ορθή, είτε αμβλεία.
Ένα ενδιαφέρον paper που γενικεύει το "πρόβλημα βελτιστοποίησης-μεγιστοποίησης" (optimization problem) εγγράψιμου τετραπλεύρου:
ΑπάντησηΔιαγραφήhttp://www.lamath.org/journal/Vol4No1/optimization.pdf
Διόρθωση: αντί του (ΑΒ)=(1/2)α*υα να διαβασθεί το σωστό (ABC)=(1/2)α*υα
ΑπάντησηΔιαγραφή"εγγράψιμου ορθογωνίου" εννοούσα, κι όχι "τετραπλεύρου".
ΑπάντησηΔιαγραφή