Τετάρτη 29 Μαΐου 2013

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 571

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και $MNPQ$ ένα ορθογώνιο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο, με $M, N ∈ BC$, $P ∈ AC$, $Q ∈ AB$. Να αποδειχθεί ότι 
$(MNPQ) ≤\frac{1}{2}(ABC)$.
Dorin Andrica (Romania) 
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 29.5.13
Ετικέτες , , ,

4 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ29 Μαΐου 2013 στις 9:52 μ.μ.

    Έστω α το μήκος της πλευράς BC και υα το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου από το Α στην πλευρά BC.
    (ΑΒ)=(1/2)α*υα
    Παίρνω ένα σημείο Χ πάνω στο υα και έστω ότι το μήκος ΑΧ ισούται με χ μέρη του ύψους υα.
    Εξετάζω το τυχαίο ορθογώνιο του οποίου η πλευρά PQ διέρχεται από το Χ.
    QM=PN=(1-x)*υα και PQ=MN=χ*α,
    άρα (MNPQ)=(1-x)*υα*χ*α=χ*(1-χ)*α*υα
    Η παράσταση χ*(1-χ) για 0<χ<1 έχει μέγιστο 1/4 για χ=1/2 και οι υπόλοιπες τιμές είναι μικρότερες του 1/4 και μάλιστα για χ τείνον στο 0 ή στο 1 τείνει στο 0.
    Συνεπώς (MNPQ)<=1/2(ABC) ο.ε.δ
    Το = ισχύει, όπως φάνηκε παραπάνω όταν χ=1/2, δηλαδή όταν η PQ περνάει από το μέσον του ύψους υα.
    Επίσης η γωνία Α μπορεί να είναι όχι μόνον οξεία αλλά είτε ορθή, είτε αμβλεία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Μαΐου 2013 στις 10:14 π.μ.

    Ένα ενδιαφέρον paper που γενικεύει το "πρόβλημα βελτιστοποίησης-μεγιστοποίησης" (optimization problem) εγγράψιμου τετραπλεύρου:
    http://www.lamath.org/journal/Vol4No1/optimization.pdf

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ30 Μαΐου 2013 στις 10:17 π.μ.

    Διόρθωση: αντί του (ΑΒ)=(1/2)α*υα να διαβασθεί το σωστό (ABC)=(1/2)α*υα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. RIZOPOULOS GEORGIOS30 Μαΐου 2013 στις 10:19 π.μ.

    "εγγράψιμου ορθογωνίου" εννοούσα, κι όχι "τετραπλεύρου".

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)