▪ Γεωμετρία - Άσκηση 517 - 520

517. Έστω τρίγωνο $ABC$ με κέντρο βάρους $G$ και $A_1,B_1,C_1$ τα μέσα των πλευρών $BC,CA,AB$. Η παράλληλη προς την $BB_1$ που διέρχεται από το $A_1$ τέμνει την $B_1C_1$ στο σημείο $F$. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα $ABC$ και $FA_1A$ είναι όμοια, αν και μόνο αν, το τετράπλευρο $AB_1GC_1$ είναι εγγράψιμο.  

518. Έστω τρίγωνο $ABC$ και $H,I,O$ το ορθόκεντρο, το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα. Αν η $CI$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο $L$ και $AB=IL$, $AH=OH$, να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου $ABC$.

519.Έστω τρίγωνο $ABC$ με εμβαδόν $S$ και τα σημεία $D,E,F$ επί των πλευρών $BC,CA,AB$. Οι κάθετες στα σημεία $D,E,F$ επί των πλευρών $BC,CA,AB$ τέμνουν το τρίγωνο $ABC$ στα σημεία $(D_1,D_2), (E_1,E_2), (F_1,F_2)$. Να αποδειχθεί ότι:
$|D_1B\cdot D_1C-D_2B\cdot D_2C|+|E_1A\cdot E_1C-E_2A\cdot E_2C|$

$+|F_1B\cdot F_1A-F_2B\cdot F_2A| > 4S $.

520. Έστω ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ με  $AB=AC$ και $\angle A=20^\circ$. Επί της πλευράς $AC$ θεωρούμε σημείο $D$, τέτοιο ώστε $AD=BC$. Να βρεθεί η γωνία $\angle BDC$. 

Junior Balkan Mathematical Olympiad ShortLists 2002

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com