Έστω $Ο$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου οξυγωνίου τριγώνου $ΑBC$ με 
$\angle{B}<\angle{C}$ 
και $D$ το σημείο τομής των ευθειών $ΑΟ$ και $BC$. Έστω $Ε$ και $F$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABD$ και $ACD$ αντιστοίχως. Προεκτείνουμε τις πλευρές $ΒΑ$ και $CA$ προς το μέρος του $Α$ και παίρνουμε σημεία $G$ και $Η$ τέτοια ώστε $AG = AC$ και $AH = AB$. Nα αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $EFGH$ είναι ορθογώνιο, αν και μόνο αν
$\angle{B}<\angle{C}$ και $D$ το σημείο τομής των ευθειών $ΑΟ$ και $BC$. Έστω $Ε$ και $F$ τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $ABD$ και $ACD$ αντιστοίχως. Προεκτείνουμε τις πλευρές $ΒΑ$ και $CA$ προς το μέρος του $Α$ και παίρνουμε σημεία $G$ και $Η$ τέτοια ώστε $AG = AC$ και $AH = AB$. Nα αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $EFGH$ είναι ορθογώνιο, αν και μόνο αν$\angle{ACB}-\angle{ABC}=60^0$
.
. Germany Mathematical Olympiad Selection Team TST 2005
45th International Mathematical Olympiad Shortlist 2004
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου