Ξεκινήστε από το 41. Προσθέστε 2: παίρνετε 43 — πρώτος. Προσθέστε 4 ακόμα: 47 — πρώτος. Συνεχίστε προσθέτοντας 6, 8, 10, 12... και κάθε φορά, ο νέος αριθμός είναι πρώτος:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, ...
Φαίνεται σαν τύχη. Δεν είναι.
📐 Το κρυμμένο πολυώνυμο
Το άθροισμα 2 + 4 + 6 + ... + 2k ισούται με k(k+1). Άρα ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι:
f(n) = 41 + n(n+1) = n² + n + 41
Αυτό είναι το διάσημο πολυώνυμο πρώτων αριθμών του Euler, που ανακάλυψε ο Leonhard Euler το 1772. Παράγει πρώτο αριθμό για κάθε ακέραιο n από το 0 έως το 39 — 40 συνεχόμενοι πρώτοι αριθμοί από ένα τόσο απλό τύπο!
💥 Πού "σπάει"
Στο n = 40, το κόλπο τελειώνει: f(40) = 40² + 40 + 41 = 1681 = 41². Δεν είναι τυχαίο — για n = 40, κάθε όρος του τύπου γίνεται πολλαπλάσιο του 41, οπότε το αποτέλεσμα δεν μπορεί ποτέ να είναι πρώτος. Το ίδιο ισχύει και για n = 41 (όπου f(41) = 41 × 43).
Κανένα πολυώνυμο δεύτερου βαθμού δεν μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς για πάντα — αλλά ελάχιστα φτάνουν τόσο μακριά όσο αυτό του Euler.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου