⭕ Το Θεώρημα του Descartes: Πώς "Μιλάνε" οι Κύκλοι Μεταξύ τους!
🔵 Τέσσερις κύκλοι, μία σχέση
Υποθέστε ότι οι κύκλοι C₁, C₂, C₃ και C₄ είναι αμοιβαία εφαπτόμενοι — δηλαδή, οποιοιδήποτε δύο από τους τέσσερις κύκλους εφάπτονται σε ακριβώς ένα σημείο. Έστω rᵢ η ακτίνα του Cᵢ.
📏 Τι είναι η καμπυλότητα
Η καμπυλότητα του Cᵢ ορίζεται ως kᵢ = ±1/rᵢ, όπου το πρόσημο του kᵢ επιλέγεται ανάλογα με το αν ο Cᵢ εφάπτεται εσωτερικά ή εξωτερικά στους υπόλοιπους κύκλους. Στην εικόνα, ο μεγάλος πράσινος κύκλος έχει αρνητική καμπυλότητα, αφού οι άλλοι τρεις κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά σε αυτόν. Αντίθετα, ο μικρός κόκκινος κύκλος έχει θετική καμπυλότητα, αφού οι άλλοι τρεις εφάπτονται εξωτερικά σε αυτόν.
✨ Το θεώρημα του Descartes
Το θεώρημα των κύκλων του Descartes δηλώνει ότι ισχύει η παρακάτω τετραγωνική εξίσωση:
(k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²)
Μια εκπληκτικά απλή σχέση, αν σκεφτεί κανείς πόσο περίπλοκη φαίνεται η διάταξη τεσσάρων εφαπτόμενων κύκλων με την πρώτη ματιά.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου