EisatoponAI: Το Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης — Γιατί ένα «Δίκαιο Παιχνίδι» Έχει Άπειρη Τιμή

🪙 Το Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

Γιατί ένα «δίκαιο παιχνίδι» φαίνεται να έχει άπειρη τιμή

Ένα από τα πιο διάσημα παράδοξα πιθανοτήτων είναι ένα πρόβλημα τζόγου: το παράδοξο St. Petersburg, που είχε προταθεί αρχικά από τον Nicolaus Bernoulli σε μια επιστολή με ημερομηνία Σεπτέμβριος του 1713. Το αρχικό πρόβλημα τροποποιήθηκε από τον Daniel Bernoulli, ανιψιό του Nicolaus, και αναλύθηκε λεπτομερώς από τον ίδιο στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης — εκεί ξεκίνησε η φήμη του παραδόξου και πήρε το όνομά του.

📘 Το Πρόβλημα

Ένα νόμισμα ρίχνεται μέχρι να φέρει το αποτέλεσμα κορώνα. Αν η κορώνα εμφανιστεί στην πρώτη ρίψη, η τράπεζα πληρώνει τον παίκτη 1 ευρώ. Αν εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη ρίψη, η τράπεζα πληρώνει 2 ευρώ. Στην τρίτη ρίψη, 4 ευρώ. Στην τέταρτη, 8 ευρώ. Στην πέμπτη, 16 ευρώ, και ούτω καθεξής.

Τι ποσό θα έπρεπε ο παίκτης να πληρώσει στην τράπεζα για να παίξει, ώστε το παιχνίδι να είναι δίκαιο — δηλαδή ώστε ούτε ο παίκτης ούτε η τράπεζα να έχουν πλεονέκτημα, ανεξάρτητα από το πόσο θα συνεχιστεί το παιχνίδι;

⚖️ Τι Σημαίνει «Δίκαιο Παιχνίδι»

Πριν λύσουμε το πρόβλημα, ας δούμε ένα απλό παράδειγμα. Ένας παίκτης αναλαμβάνει να ρίξει ένα «τεσσάρι» με μία ρίψη ζαριού. Η τράπεζα συμφωνεί να τον πληρώσει 1 ευρώ αν πετύχει. Τι ποσό θα πρέπει να πληρώσει ο παίκτης, για να είναι το παιχνίδι δίκαιο;

Σε μία ρίψη, η πιθανότητα ενός τεσσάρι είναι \(1/6\). Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο παίκτης θα ρίξει ακριβώς ένα τεσσάρι σε 6 βολές — μπορούμε όμως να πούμε ότι σε μεγάλο αριθμό ρίψεων, π.χ. 6000, ένα τεσσάρι θα έρθει περίπου 1000 φορές, και όσο αυξάνονται οι ρίψεις, η αναλογία επιτυχιών προσεγγίζει όλο και περισσότερο το \(1/6\). (Πρόκειται για εφαρμογή θεωρήματος του Jacob Bernoulli, αδελφού του Nicolaus.)

Η προσδοκία του παίκτη είναι επομένως \(1/6\) του 1 ευρώ ανά παιχνίδι — και αυτό το ποσό πρέπει να πληρώσει στην τράπεζα, ώστε κανένας από τους δύο να μην έχει πλεονέκτημα.

🔢 Υπολογίζοντας την Προσδοκία, Ρίψη προς Ρίψη

Εξετάζουμε την πρώτη ρίψη του νομίσματος. Η πιθανότητα να έρθει κορώνα είναι \(1/2\), και το ποσό που εμπλέκεται είναι 1 ευρώ. Η προσδοκία αυτής της ρίψης είναι \(\frac{1}{2}\times 1 = 0{,}50\) ευρώ.

Στη δεύτερη ρίψη, ο παίκτης εισπράττει μόνο αν έφερε γράμματα στην πρώτη και κορώνα στη δεύτερη — πιθανότητα \(\left(\frac12\right)\left(\frac12\right)=\frac14\). Το ποσό είναι 2 ευρώ, άρα η προσδοκία είναι \(\frac14\times 2 = 0{,}50\) ευρώ.

Στην τρίτη ρίψη, η πιθανότητα είναι \(\left(\frac12\right)^3=\frac18\) και το ποσό 4 ευρώ, άρα η προσδοκία είναι πάλι \(\frac18\times 4=0{,}50\) ευρώ.

Γενικά, στη \(n\)-οστή ρίψη ο παίκτης εισπράττει μόνο αν έφερε γράμματα στις πρώτες \(n-1\) ρίψεις και κορώνα στη \(n\)-οστή — πιθανότητα \(\left(\frac12\right)^n\). Το ποσό που εμπλέκεται είναι πάντα μια δύναμη του 2, μία μικρότερη από τον αριθμό της ρίψης: \(2^{n-1}\). Η προσδοκία της \(n\)-οστής ρίψης είναι επομένως:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^n \cdot 2^{n-1} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}\ \text{ευρώ} \]

δηλαδή κάθε ρίψη έχει την ίδια προσδοκία: 50 λεπτά, ανεξάρτητα από το \(n\).

♾️ Το Παράδοξο: Άπειρη Προσδοκία

Δεδομένου ότι η συνολική προσδοκία είναι το άθροισμα των προσδοκιών κάθε ρίψης, η συνολική προσδοκία είναι:

\[ \frac12 + \frac12 + \frac12 + \frac12 + \cdots\ \text{ευρώ} \]

Το παιχνίδι συνεχίζεται μέχρι να έρθει κορώνα, και θεωρητικά δεν υπάρχει όριο στον αριθμό των γραμμάτων που μπορούν να προηγηθούν. Η σειρά αθροίζεται επ' άπειρον, και το άθροισμα άπειρων όρων ίσων με \(1/2\) είναι προφανώς άπειρο.

Ο παίκτης θα έπρεπε λοιπόν να πληρώσει ένα άπειρο ποσό χρημάτων για να παίξει το παιχνίδι — ένα αποτέλεσμα εντελώς παράλογο, αν και μαθηματικά σωστό.

Τι είναι λάθος, λοιπόν; Το ερώτημα αυτό έχει απασχολήσει μαθηματικούς για περισσότερους από δύο αιώνες, χωρίς να υπάρχει μία κοινά αποδεκτή απάντηση. Έχουν προταθεί αρκετές λύσεις — η παρακάτω ίσως απευθύνεται περισσότερο στην κοινή λογική.

🏦 Η Λύση: Μια Τράπεζα με Πεπερασμένο Πλούτο

Δεν υπάρχει κανένα λάθος στο αποτέλεσμα, υποθέτοντας ότι υπάρχει μια τράπεζα με άπειρο πλούτο, ικανή να πληρώνει τον παίκτη όσο κι αν εξελιχθεί το παιχνίδι. Μια τέτοια τράπεζα όμως προφανώς δεν υπάρχει.

Ας υποθέσουμε λοιπόν μια τράπεζα της οποίας ο πλούτος περιορίζεται σε 1.000.000 ευρώ. Όπως πριν, η πιθανότητα να εμφανιστεί για πρώτη φορά κορώνα στη \(n\)-οστή ρίψη είναι \(\left(\frac12\right)^n\). Αν \(P_n\) είναι αυτή η πιθανότητα και \(a_n\) το ποσό που καταβάλλει η τράπεζα σε αυτή τη ρίψη, τότε:

\[ P_n = \left(\frac12\right)^n,\quad a_n = 2^{n-1}\ \ \text{όταν}\ \ 2^{n-1} < 1.000.000 \] \[ P_n = \left(\frac12\right)^n,\quad a_n = 1.000.000\ \ \text{όταν}\ \ 2^{n-1} \ge 1.000.000 \]

Επειδή \(2^{19}=524.288 < 1.000.000\) ενώ \(2^{20}=1.048.576 > 1.000.000\), το πρώτο σύνολο συνθηκών ισχύει για \(n\le 20\) και το δεύτερο για \(n>20\). Η συνολική προσδοκία σε ευρώ δίνεται λοιπόν από:

\[ \underbrace{\frac12(1) + \left(\frac12\right)^2(2) + \left(\frac12\right)^3(4) + \cdots + \left(\frac12\right)^{20}(2^{19})}_{\text{20 όροι, ο καθένας} = \frac12} \ +\ 1.000.000\sum_{n=21}^{\infty}\left(\frac12\right)^n \]

Το πρώτο κομμάτι έχει 20 όρους, ο καθένας ίσος με \(1/2\), άρα αθροίζει σε 10. Το δεύτερο κομμάτι είναι γεωμετρική σειρά:

\[ 1.000.000 \left(\frac12\right)^{20} = \frac{1.000.000}{1.048.576} \approx 0{,}9536 \]

Έτσι, η συνολική προσδοκία στην περίπτωση τράπεζας με 1.000.000 ευρώ είναι

\[ 10 + 0{,}9536 \approx \mathbf{10{,}95\ \text{ευρώ}} \]

Ένα απολύτως λογικό ποσό για να πληρώσει κάποιος ώστε να παίξει το παιχνίδι — και το «άπειρο» του αρχικού παραδόξου εξαφανίζεται μόλις εισάγουμε τον ρεαλιστικό περιορισμό ενός πεπερασμένου πλούτου.