Απόδειξη Χωρίς Λόγια: Άθροισμα Γεωμετρικής Σειράς | Οπτική Γεωμετρία

Μια εξαιρετική απόδειξη χωρίς λόγια (Proof Without Words) για το άθροισμα της απειροελάχιστης γεωμετρικής σειράς:

\[ \frac{1}{1-r} = \sum_{i=0}^{\infty} r^i = 1 + r + r^2 + r^3 + \dots \quad (|r| < 1) \]

Γεωμετρική Ερμηνεία

• Όμοια Τρίγωνα: Το μεγάλο ορθογώνιο τρίγωνο (με συνολικό ύψος \( S = \sum_{i=0}^{\infty} r^i \) και βάση \( 1 \)) είναι όμοιο με το μικρότερο τρίγωνο στο κάτω δεξιά μέρος.
• Λόγος Πλευρών: Η βάση του μεγάλου τριγώνου είναι \( 1 \), ενώ η βάση του μικρού τριγώνου είναι \( 1 - r \). Το ύψος του μικρού τριγώνου ισούται με \( 1 \).
• Αναλογία: Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων, ο λόγος του ύψους προς τη βάση παραμένει σταθερός:
  \[ \frac{1 + r + r^2 + r^3 + \dots}{1} = \frac{1}{1 - r} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →