Οι ρίζες της εξίσωσης
\[
x^3 + a x^2 + b x + c = 0
\]
είναι καθεμιά κατά 2 μονάδες μικρότερη από τις ρίζες της εξίσωσης
\[
x^3 + x + 1 = 0.
\]
Να υπολογίσετε το άθροισμα \(a + b + c\).
Επιλογές:
Α) 27
Β) 28
Γ) 29
Δ) 30
Ε) 31
Λύση (κλικ για εμφάνιση)
Έστω \(P(x) = x^3 + x + 1\) και οι ρίζες του \(r_1, r_2, r_3\).
Τότε η νέα εξίσωση πρέπει να έχει ρίζες \(r_1 - 2, r_2 - 2, r_3 - 2\).
Αν θέσουμε \(x = r - 2\), τότε \(r = x + 2\) και ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση:
\[
P(x+2) = 0.
\]
Άρα το πολυώνυμο με ρίζες \(r_i - 2\) είναι ακριβώς το
\[
Q(x) = P(x+2),
\]
που είναι επίσης μονικό κυβικό, άρα ταυτίζεται με
\[
x^3 + a x^2 + b x + c.
\]
Υπολογίζουμε:
\[
P(x+2) = (x+2)^3 + (x+2) + 1
= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + x + 2 + 1
= x^3 + 6x^2 + 13x + 11.
\]
Επομένως
\[
a = 6,\quad b = 13,\quad c = 11.
\]
Άρα
\[
a + b + c = 6 + 13 + 11 = 30.
\]
Σωστή απάντηση: Δ) 30.
Translating the Roots of a Cubic
The roots of
\[
x^3 + a x^2 + b x + c = 0
\]
are each two less than the roots of
\[
x^3 + x + 1 = 0.
\]
Compute \(a + b + c\).
Choices:
(A) 27
(B) 28
(C) 29
(D) 30
(E) 31
Solution (click to reveal)
Let \(P(x) = x^3 + x + 1\) with roots \(r_1, r_2, r_3\).
The new cubic must have roots \(r_1 - 2, r_2 - 2, r_3 - 2\).
If \(x = r - 2\), then \(r = x + 2\) is a root of the original cubic, so
\[
P(x+2) = 0.
\]
Thus the polynomial with roots \(r_i - 2\) is
\[
Q(x) = P(x+2),
\]
which is a monic cubic and therefore equals \(x^3 + a x^2 + b x + c\).
Compute:
\[
P(x+2) = (x+2)^3 + (x+2) + 1
= x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + x + 2 + 1
= x^3 + 6x^2 + 13x + 11.
\]
Hence
\[
a = 6,\quad b = 13,\quad c = 11,
\]
so
\[
a + b + c = 6 + 13 + 11 = 30.
\]
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου