- \[ m_a m_b + m_b m_c + m_c m_a \ge 3\sqrt{3}\,E. \]
- \[ \frac{1}{m_a m_b} + \frac{1}{m_b m_c} + \frac{1}{m_c m_a} \le \frac{\sqrt{3}}{E}. \]
- \[ \frac{m_a^2}{b c} + \frac{m_b^2}{c a} + \frac{m_c^2}{a b} \ge \frac{9}{4}. \]
- \[ \frac{a^2}{m_b m_c} + \frac{b^2}{m_c m_a} + \frac{c^2}{m_a m_b} \ge 4. \]
- \[ (m_a m_b)^2 + (m_b m_c)^2 + (m_c m_a)^2 \ge \tau^2(4R + \rho)\rho. \]
- \[ m_a^4 + m_b^4 + m_c^4 \ge \frac{\tau^4}{3}. \]
- \[ m_a^6 + m_b^6 + m_c^6 \ge \tau^4(\tau^2 - 12R\rho). \]
- \[ \frac{\mu_\alpha^2 \mu_\beta^2}{\alpha \beta} + \frac{\mu_\beta^2 \mu_\gamma^2}{\beta \gamma} + \frac{\mu_\gamma^2 \mu_\alpha^2}{\gamma \alpha} \ge \frac{81}{4}\rho^2. \]
- \[ m_a m_b m_c \le \frac{9}{2}R. \]
- \[ ab + bc + ca \le 2R(m_a + m_b + m_c). \]
- \[ \frac{m_a^2}{a} + \frac{m_b^2}{b} + \frac{m_c^2}{c} \ge \frac{3}{2}\tau. \]
- \[ \frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \ge \frac{3}{2}\sqrt{3}. \]
- \[ \frac{a}{m_a} + \frac{b}{m_b} + \frac{c}{m_c} \ge 2\sqrt{3}. \]
- \[ \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b} + \frac{a^2 + b^2}{c} \ge \frac{4\sqrt{3}}{3}(m_a + m_b + m_c). \]
Επεξήγηση Συμβόλων
| Σύμβολο | Ονομασία | Τι εκφράζει |
|---|---|---|
| \(E\) | Εμβαδόν τριγώνου | Το εμβαδόν της επιφάνειας του τριγώνου \(ABC\). |
| \(m_a, m_b, m_c\) | Διάμεσοι | \(m_a\): από \(A\) στο μέσο της \(BC\), \(m_b\): από \(B\) στο μέσο της \(CA\), \(m_c\): από \(C\) στο μέσο της \(AB\). |
| \(R\) | Περιγεγραμμένη ακτίνα | Ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (διέρχεται από τις κορυφές). |
| \(\rho\) | Εγγεγραμμένη ακτίνα | Ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (εφάπτεται στις πλευρές). |
| \(\tau\) | Ημιπερίμετρος | \(\tau=\dfrac{a+b+c}{2}\). Χρήσιμη σε τύπους για εμβαδά και ανισότητες. |
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου