Θεώρημα Κοινών Χορδών Τριών Κύκλων

Θεώρημα

Οι κοινοί χορδές οποιωνδήποτε τριών κύκλων τέμνονται σε ένα κοινό σημείο.

Απόδειξη

Ακολουθεί μια ενδιαφέρουσα απόδειξη που βασίζεται στη θεωρία των οριζουσών.

Έστω οι εξισώσεις τριών κύκλων στο καρτεσιανό επίπεδο:

$C_1: x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 =0$

$C_2: x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$

$ C_3: x^2 + y^2 + 2g_3x + 2f_3y + c_3 = 0$

Για να βρούμε τις κοινές χορδές δύο κύκλων, αρκεί να αφαιρέσουμε τις εξισώσεις τους:

• Η κοινή χορδή των $C_1$ και $C_2$ είναι:

  $$(C_1 - C_2):\ 2(g_1 - g_2)x + 2(f_1 - f_2)y + (c_1 - c_2) = 0$$

• Η κοινή χορδή των $C_2$ και $C_3$ είναι:

  $$(C_2 - C_3):\ 2(g_2 - g_3)x + 2(f_2 - f_3)y + (c_2 - c_3) = 0$$

• Η κοινή χορδή των $C_3$ και $C_1$ είναι:

  $$(C_3 - C_1):\ 2(g_3 - g_1)x + 2(f_3 - f_1)y + (c_3 - c_1) = 0$$

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ευθείες — οι κοινές χορδές των ζευγών κύκλων.

Για να αποδείξουμε ότι οι τρεις αυτές ευθείες (χορδές) συναντώνται σε ένα σημείο, σχηματίζουμε τον πίνακα συντελεστών τους και ελέγχουμε αν έχει μηδενική ορίζουσα:

$\begin{vmatrix} g_1 - g_2 & f_1 - f_2 & \frac{1}{2}(c_1 - c_2) \\ g_2 - g_3 & f_2 - f_3 & \frac{1}{2}(c_2 - c_3) \\ g_3 - g_1 & f_3 - f_1 & \frac{1}{2}(c_3 - c_1) \\ \end{vmatrix} = 0$​

Η τρίτη γραμμή είναι αρνητικό άθροισμα των δύο προηγούμενων, άρα οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες και η ορίζουσα μηδενίζεται.

🔍 Σημείωση

Το θεώρημα αυτό ισχύει και όταν οι κύκλοι δεν τέμνονται μεταξύ τους.

Σε αυτή την περίπτωση, αντί για κοινές χορδές, χρησιμοποιούνται οι ριζικοί άξονες των κύκλων.

Οι ριζικοί άξονες είναι οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων που έχουν ίσες δυνάμεις ως προς δύο κύκλους και είναι ευθείες γραμμές.

Και αυτοί οι τρεις ριζικοί άξονες — όπως και οι κοινές χορδές — τέμνονται σε ένα κοινό σημείο, γνωστό ως ριζικό κέντρο των τριών κύκλων.

---

✅ Συμπέρασμα:

Οι τρεις κοινές χορδές οποιωνδήποτε τριών κύκλων τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο. Το φαινόμενο αυτό εξηγείται φυσικά και γεωμετρικά, αλλά και αλγεβρικά μέσω της μηδενικής ορίζουσας — μια ωραία ένωση Γεωμετρίας και Άλγεβρας!

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →