ΘΕΜΑ 1ο
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα

α) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 17 ακεραίους, υπάρχουν 5 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 5. Ισχύει για 16 αριθμούς;
β) Δείξτε ότι ανάμεσα σε 7 ακεραίους, υπάρχουν 4 των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 4. Ισχύει για 6 αριθμούς;
ΘΕΜΑ 3ο
Από μια σκακιέρα
αφαιρέσαμε
τετράγωνα
Να αποδείξετε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε ακόμη ένα!



ΘΕΜΑ 4ο
Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο
με
και έστω
το σημείο τομής των ευθειών
και
. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου
τέμνει την ευθεία
στα σημεία
και
. Έστω
και
τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το
στον περιγεγραμμένο κύκλο του
με τον κύκλο αυτό. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο.














Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης
Πηγή: mathematica