Oι κύκλοι του Euler

Oι κύκλοι του Euler των τεσσάρων μερικών τριγώνων κυκλικού τετραπλεύρου διέρχονται από το σημείο Mathot $Μ$ αυτού.

Αυτό είναι συνέπεια του ότι το ορθόκεντρο είναι κέντρο ομοιοθεσίας του περιγεγραμμένου με τον κύκλο του Euler, με λόγο ομοιοθεσίας $1/2$. Άρα ο κύκλος του Εuler του μερικού τριγώνου ABC θα είναι ο κύκλος με κέντρο $D'$ το μέσον της $ΟD_1$, όπου $D_1$ το συμμετρικό του $D$ ως προς $Μ$ (ορθόκεντρο του $ABC$) και ακτίνα ίση με το ήμισυ της ακτίνας του περικύκλου του τετραπλεύρου $ABCD$. Ο περίκυκλος αυτός διέρχεται από το $D$, άρα ο ομοιόθετός του κύκλος Euler του $ΑΒC$ θα διέρχεται από το μέσον $Μ$ της $D_1D$.

Οι επόμενες ιδιότητες είναι εύκολα αποδεικνυόμενες συνέπειες των προηγουμένων.

[1] Τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων Euler σχηματίζουν τετράπλευρο $Α'Β'C'D'$ ομοιόθετο του $A_1B_1C_1D_1$ με λόγο ομοιοθεσίας $1/2$ και κέντρο ομοιοθεσίας το περίκεντρο του $ABCD$.

[2] Το $Α'B'C'D'$ είναι και ομοιόθετο του $ABCD$ ως προς σημείο $S$ που χωρίζει το τμήμα $ΟΜ$ ($Ο$: περίκεντρο του $ΑBCD$) σε λόγο $2:1$ με λόγο ομοιοθεσίας $-1/2$.

Πηγή: ~pamfilos