Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 23ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Υποθέτουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί  δεν είναι ακέραιοι και το άθροισμα οποιονδήποτε τριών από αυτούς είναι ακέραιος. Είναι δυνατόν ο αριθμός    να είναι ακέραιος;

ΘΕΜΑ 2ο

Χρωματίζουμε κάθε σημείο του επιπέδου με ένα από  χρώματα έτσι ώστε τα σημεία κάθε ευθείας του επιπέδου να είναι χρωματισμένα με το πολύ δύο χρώματα.

Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή του 

ΘΕΜΑ 3ο

Θεωρούμε τρίγωνο  με  και  To σημείο  βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς  προς το  έτσι ώστε

   

Να προσδιορίσετε το μέτρο της γωνίας 

ΘΕΜΑ 4ο

Να αποδείξετε ότι

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς  και 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica