Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 3ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μικροί)

 3ο ΤΕΣΤ 

ΘΕΜΑ 1

Έστω  θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι

ΘΕΜΑ 2

Να βρείτε τον μικρότερο πρώτο  για τον οποίο ο αριθμός  έχει ακριβώς 30 θετικούς διαιρέτες.

ΘΕΜΑ 3

Έστω  οξυγώνιο τρίγωνο,  το ορθόκεντρό του και  τα ίχνη των υψών από τις κορυφές  και  αντίστοιχα. Η ευθεία  και το ύψος από το  τέμνονται στο  Η κάθετη από το  στην  τέμνει την  στο  Ακόμη, η  τέμνει το ύψος από το  στο 

Να αποδείξετε ότι το  είναι το μέσο του 

ΘΕΜΑ 4

Ο Γιώργος έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς  Στη συνέχεια επανέλαβε την ακόλουθη κίνηση:

κάθε φορά επέλεγε δύο αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς) που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και τέτοιους ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο, τους έσβηνε και έγραφε στον πίνακα το πηλίκο τους, που ήταν θετικός ακέραιος.

Επανέλαβε την κίνηση μέχρις ότου να μην μπορεί να συνεχίσει (δηλαδή να μην υπάρχει ζεύγος αριθμών στον πίνακα τέτοιο ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο).

Πόσοι, τουλάχιστον, αριθμοί είναι τότε γραμμένοι στον πίνακα;

 Επιμέλεια: Αθανάσιος Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica