Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» [4]

Practice TEST 4

ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω ένας περιττός πρώτος αριθμός. Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους ισχύει

ΘΕΜΑ 2ο 

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει

για κάθε .

ΘΕΜΑ 3ο 

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε για κάθε . Να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .

ΘΕΜΑ 4ο 

Θεωρούμε τα σημεία σε κύκλο τέτοια ώστε η να είναι κάθετη στη , η να είναι κάθετη στη , και η είναι κάθετη στη . Επιπλέον, θεωρούμε σημείο του κύκλου, και έστω ότι η τέμνει την ευθεία στο , η τέμνει την ευθεία στο , και η τέμνει την ευθεία στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία και το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι συνευθειακά.

Πηγή: mathematica

Προηγούμενα τεστ:

Practice TEST 3

Practice TEST 2

Practice TEST 1