Τετάρτη 14 Μαΐου 2014

Λόγος Εμβαδών

Τα σημεία $D,E,Z$ βρίσκονται αντίστοιχα πάνω στις πλευρές $BC,AC,AB$ τριγώνου $ABC$ ώστε:
 $\displaystyle{\frac{{DB}}{{DC}} = k,\frac{{EC}}{{EA}} = m,\frac{{ZA}}{{ZB}} = n}$. 
Να βρεθεί ο λόγος $\displaystyle{\frac{{(DEZ)}}{{(ABC)}}}$, συναρτήσει των $k,m,n$.
Πηγή: mathematica
Αναρτήθηκε από στις 14.5.14
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Κουνελοϊός15 Μαΐου 2014 στις 8:38 μ.μ.

    Είναι γωνία EAZ=γωνία BAC, γωνία DBZ=γωνία ABC και γωνία DCE=γωνία ACB, οπότε (AEZ)/(ABC)=[(AE)(AZ)]/[(AB)(AC)]=[(AE)/(AC)][(AZ)/(AB)], (BDZ)/(ABC)=[(BD)(BZ)]/[(AB)(BC)]=[(BD)/(BC)][(BZ)/(AB)] και (CDE)/(ABC)=[(CD)(CE)]/[(AC)(BC)]=[(CD)/(BC)][(CE)/(AC)]. Όμως (CE)/(AE)=m/1, άρα (CE)/[(AE)+(CE)]=m/(m+1), δηλαδή (CE)/(AC)=m/(m+1), επομένως (AE)/(AC)=1-(CE)/(AC)=1-m/(m+1)=(m+1-m)/(m+1)=1/(m+1). Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι (AZ)/(AB)=n/(n+1), (BZ)/(AB)=1/(n+1), (BD)/(BC)=k/(k+1) και (CD)/(BC)=1/(k+1). Τελικά προκύπτει ότι (DEZ)/(ABC)=1-(AEZ)/(ABC)-(BDZ)/(ABC)-(CDE)/(ABC)=1-[1/(m+1)][n/(n+1)]-[k/(k+1)][1/(n+1)]-[1/(k+1)][m/(m+1)]=1-n/[(m+1)(n+1)]-k/[(k+1)(n+1)]-m/[(k+1)(m+1)]=[(k+1)(m+1)(n+1)-n(k+1)-k(m+1)-m(n+1)]/[(k+1)(m+1)(n+1)]=[(km+k+m+1)(n+1)-n(k+1)-k(m+1)-m(n+1)]/[(k+1)(m+1)(n+1)]=(kmn+km+kn+k+mn+m+n+1-kn-n-km-k-mn-m)/[(k+1)(m+1)(n+1)]=(kmn+1)/[(k+1)(m+1)(n+1)].

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)