Στο τετράγωνο $ABCD$ φέρουμε τη διαγώνιο $AC$ και εγγράφουμε κύκλο και ημικύκλιο, όπως φαίνονται στο σχήμα.
Ο κυκλικός δίσκος έχει μεγαλύτερο εμβαδόν ή ο ημικυκλικός?
Πηγή: mathematica (KARKAR)
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
2 σχόλια:
Έστω 1 η πλευρά του τετραγώνου, r η ακτίνα του κύκλου και R του ημικυκλίου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι εφαπτόμενες από το C στον κύκλο είναι ίσες, άρα 1-r=riza2/2 => r=1-riza2/2=0.292893 =>
r^2=0.085786
Tο τρίγωνο που σχηματίζεται από το σημείο Α, το κέντρο του ημικυκλίου και το σημείο επαφής της AC με το ημικύκλιο είναι ισοσκελές ορθογώνιο, άρα
2*R^2=(1-R)^2 =>R=riza2-1=0.414214 => R^2=0.171573 = 2r^2
Συνεπώς έχουν ίσα εμβαδά.
2η λύση
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω (Κ,r) ο μικρός κύκλος και (L,R) ο μεγάλος που αντιστοιχεί το ημικύκλιο και Ε το μέσον της AC (και σημείο επαφής του μικρού κύκλου με την AC) και α η πλευρά του τετραγώνου.
EC=α*(2^0.5)/2
Τα τρίγωνα LBC και KEC είναι όμοια, άρα
LB/KE =BC/EC -> R/r = α/(α*(2^0.5)/2)=2/2^0.5 ->
R^2=(r^2)*4/2 ->R^2=(r^2)*2
Συνεπώς οι δύο δίσκοι, κυκλικός και ημικυκλικός έχουν ίσα εμβαδά