Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ ($\angle{A}=90^0$) και έστω ευθεία $ε$ που διέρχεται από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, που τέμνει τις πλευρές $AB$ και $AC$ στα σημεία $P$ και $Q$, αντίστοιχα. Να βρεθεί το ελάχιστο του γινομένου $AP\cdot{AQ}$.
Dorin Andrica (Romania)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Το γινόμενο AP*AQ γίνεται ελάχιστο όταν AP=AQ (τρίγωνο APQ ισοσκελές) διότι σε κάθε άλλη περίπτωση καθώς περιστρέφουμε την (ε) γύρω από το κέντρο, έστω Ο, του εγγεγραμμένου κύκλου το τρίγωνο που προστίθεται στο ισοσκελές είναι μεγαλύτερο από αυτό που αφαιρείται, και επειδή στην περίπτωση αυτή AP=AQ=2r,r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, άρα
ΑπάντησηΔιαγραφή(AP*AQ)min=2r*2r=4r^2