▪Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση

Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση $x^3 - 3x +1 = 0$ έχει μια τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των αριθμών $1$ και $2$. Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με προσέγγιση δεκάτου.

ΛΥΣΗ
Έστω η συνάρτηση $f(x) = x^3 - 3x +1$.
1o βήμα: 
Έχουμε:

$f(1)=-1<0$ και $f(2)=3>0$.

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο διάστημα $(1,2)$.

2ο βήμα: 

Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία $1,1, 1,2, … 1,9$ και παρατηρούμε ότι:

$f(1,5)\approx{-0,13}<0$

$f(1,6)\approx{0,30}>0$

Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(1,5, 1,6)$.

3ο βήμα: 

Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα $(1,5, 1,6)$ και έχουμε:

$f(1,53)\approx{-0,01}<0$

$f(1,54)\approx{0,03}>0$

Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα $(1,53, 1,54)$ δηλαδή ισχύει $1,53 < ρ < 1,54$. Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι $ρ = 1,5$.

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →