Να λυθεί το σύστημα
$x(y+z) = y^2+z^2-2$
$y(z+x) = z^2+x^2-2$
$z(x+y) = x^2+y^2-2$
στο σύνολο των ακεραίων αριθμών.
Indonesia National Science Olympiad 2005
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Ωραίο και βατό προβληματάκι! (ωραίο, επειδή είναι βατό δηλαδή..:-) )
ΑπάντησηΔιαγραφήΠροσθέτωντας κατά μέλη και τις 3 ,έχουμε:
(xy+xz)+(zy+xy)+(zx+zy)= y2+z2-2+z2+x2-2+x2+y2-2
ή 2xy+2xz+2xy=2x^2 + 2y^2+2z^2-6
διά 2: xy+xz+xy=x^2 +y^2+ z^2-3 (a)
Aντικαθιστώντας στην (a) με καθεμια από το αρχικό σύστημα/+αφαιρώντας, προκύπτουν αντίστοιχα οι:
xy=z^2 -1
xz=y^2 -1
yz= x^2 -1
Πολ/ζουμε κατά μέλη:
xy*xz*yz=(x^2 -1)(y^2-1)(z^2 -1)
x^2*y^2*z^2=(x^2 -1)(y^2-1)(z^2 -1) (b)
Για να ισχύει η (b) όμως ,αφου τα x,y,z είναι ακέραιοι άρα γενικά ν^2>ν^2 -1 , θα πρέπει τουλάχιστον ένας όρος να είναι μηδενικός και τουλάχιστον ένας μοναδιαίος, άρα ο τρίτος βγαίνει ''φορσέ'' -1
Άρα όλες οι τριάδες/συνδυασμοί (0,1,-1) (6 τον αριθμό) είναι λύσεις.
ΥΓ. Ευτυχώς, το Wolframalpha συμφωνεί! :-)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28y%2Bz%29%3Dy2%2Bz2-2+%2C+y%28z%2Bx%29%3Dz2%2Bx2-2%2C+z%28x%2By%29%3Dx2%2By2-2