▪ Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης

Θεώρημα

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο.

Απόδειξη

Έστω κύκλος (O,R) και ένα τόξο του ΑΒ. Ας θεωρήσουμε την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑÔΒ και σημείο Γ του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο Τότε θα αποδείξουμε ότι ΑÔΒ = 2ΑΓΒ.

(i) Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου το κέντρο Ο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓΒ (σχ.α). Έστω Γ' το αντιδιαμετρικό σημείο του Γ. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές, επομένως

                          ΟAΓ = ΟΓΑ. 

Η Γ'ΟΑ είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΟΓ, επομένως

                          Γ'ΟΑ = 2ΟΓΑ 

και όμοια έχουμε ότι Γ'ΟΒ = 2ΟΓΒ.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες έχουμε ότι

AÔΒ = 2ΑΓΒ.

(ii) Ας εξετάσουμε κατόπιν την περίπτωση όπου το O ανήκει σε μία πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓΒ (σχ.β). Η επίκεντρη γωνία ΑÔΒ είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ΓΟΒ, οπότε ΑÔΒ = 2ΑΓΒ.
(iii) Όμοια με τις προηγούμενες περιπτώσεις (σχ.γ).
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄-Β΄ Λυκείου.