▪ Δύο εφαρμογές στα εγγράψιμα τετράπλευρα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Να αποδειχθεί ότι κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Απόδειξη Αν το $ΑΒΓΔ$ είναι ισοσκελές τραπέζιο θα είναι $\angle{A} = \angle{Β}, \angle{Γ} = \angle{Δ}$ και $\angle{A} + \angle{Δ} = \angle{Β} + \angle{Γ} = 2∟$. Επομένως θα είναι και $\angle{A} + \angle{Γ} = 2∟$ , οπότε είναι εγγράψιμο.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Να αποδειχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου σχηματίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο. Λύση

Έστω τετράπλευρο $ΑΒΓΔ$ και $Α_1Β_1Γ_1Δ_1$ το τετράπλευρο που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών του. Τότε έχουμε ότι

$\angle{Β_1Α_1Δ_1}=\angle{ΑΑ_1Δ_1}=180^0-(\frac{\angle{Α}+ \angle{Δ}}{2})$

και

$\angle{Δ_1Γ_1Β_1}=\angle{ΒΓ_1Γ}=180^0-(\frac{\angle{Β}+ \angle{Γ}}{2})$.

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε
$\angle{Β_1Α_1Δ_1}+\angle{Δ_1Γ_1Β_1}=360^0-(\frac{\angle{Α}+\angle{Β}\angle{Γ}+\angle{Δ}}{2})$, επομένως το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο.