Το τρίγωνο ABC έχει τις τρεις γωνίες του σε αναλογία 1, 2 και 4 (γι' αυτό και ονομάζεται "επτάγωνο" — οι γωνίες προκύπτουν διαιρώντας τις 180° σε 7 ίσα μέρη: π/7, 2π/7, 4π/7). Θεωρούμε, κατά σύμβαση, ότι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με 1.
Η περιήγηση μέσα σε αυτό το τρίγωνο μάς αποκαλύπτει εννέα ιδιότητες, όπου η τριγωνομετρία συναντά τη γεωμετρία.
📘 Ερωτήματα 1–5: Εμβαδόν, πλευρές, ύψη
1) Ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου;
2) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών;
3) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αντιστρόφων των πλευρών;
4) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων των υψών από τις κορυφές A, B και C;
5) Ποιο είναι το τετράγωνο της απόστασης του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου από το ορθόκεντρο;
📘 Ερωτήματα 6–9: Βαθύτερες ιδιότητες
6) Ποιο είναι το γινόμενο των εφαπτομένων των γωνιών των κορυφών;
7) Αποδείξτε ότι το διπλάσιο της μικρότερης πλευράς είναι ο αρμονικός μέσος των άλλων δύο πλευρών.
8) Έστω P, Q και R τα μέσα των πλευρών BC, AC και AB, και H, I και J τα ίχνη των υψών από τα A, B και C στις πλευρές BC, AC και AB. Συγκρίνετε τα τρίγωνα PQR και HIJ.
9) Έστω D, E και F τα ίχνη των διχοτόμων από τις κορυφές A, B και C στις πλευρές BC, AC και AB. Τι μπορούμε να πούμε για το τρίγωνο DEF;
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου