🟥 Ένα Τετράγωνο που Γεμίζει Στο Ένα Τρίτο: Οπτική Απόδειξη Γεωμετρικής Σειράς!
➗ Η σειρά
Η εικόνα απεικονίζει το άθροισμα της άπειρης γεωμετρικής σειράς:
Σ (1/4ⁿ) = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3
Κάθε όρος είναι το ένα τέταρτο του προηγούμενου — μια γεωμετρική σειρά με λόγο 1/4.
🟨 Η οπτική απόδειξη
Ξεκινάμε με ένα τετράγωνο εμβαδού 1. Χρωματίζουμε το 1/4 του τετραγώνου (το κόκκινο κομμάτι). Στο υπόλοιπο τετράγωνο (το άνω δεξιά κομμάτι, που έχει κι αυτό εμβαδόν 1/4), επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία: χρωματίζουμε το 1/4 του — δηλαδή 1/16 του αρχικού τετραγώνου (κίτρινο). Συνεχίζοντας επ' άπειρον με μοβ, πράσινο, γαλάζιο, πορτοκαλί..., κάθε φορά μικρότερο κατά συντελεστή 4, γεμίζουμε ολοένα και μεγαλύτερο μέρος του τετραγώνου.
🎯 Γιατί καταλήγει στο 1/3
Επειδή σε κάθε βήμα χρωματίζουμε το 1/4 και σε κάθε βήμα μένει το ίδιο κλάσμα αχρωμάτιστο σε σχέση με το προηγούμενο (και πάλι το 1/4 από αυτό συνεχίζει να χρωματίζεται), το χρωματισμένο εμβαδόν προσεγγίζει το 1/3 του συνολικού τετραγώνου — ενώ ένα άλλο 1/3 μένει πάντα "λευκό" σε κάθε επίπεδο, και ένα ακόμη 1/3 αντιστοιχεί στο υπόλοιπο μη χρωματισμένο κομμάτι που συνεχίζει να υποδιαιρείται. Η εικόνα κάνει ορατή, χωρίς άλγεβρα, την ταυτότητα Σ(1/4ⁿ) = 1/3.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου