COMBINATORICS • HEXAGONAL GRID
Η Μέλισσα και οι Κωδικοποιημένες Εντολές
Διαδρομές πάνω σε κηρήθρα
Εκφώνηση
Μια μέλισσα κινείται πάνω σε μια κηρήθρα ακολουθώντας τις οδηγίες της βασίλισσάς της.
Όταν ακούει:
- το γράμμα A, μετακινείται ένα κελί προς τα πάνω,
- το γράμμα B, μετακινείται ένα κελί προς τα κάτω και δεξιά,
- το γράμμα C, μετακινείται ένα κελί προς τα κάτω και αριστερά.
Στο σχήμα φαίνεται επίσης η διαδρομή που ακολουθεί όταν ακούσει διαδοχικά τη σειρά:
\[ BCBBA \]Η βασίλισσα όμως δεν δίνει ποτέ μεμονωμένα γράμματα ως εντολές. Αντίθετα, χρησιμοποιεί μόνο τις ακόλουθες ακολουθίες:
\[ ABA,\quad BCBC,\quad CCA. \]Ποια κελιά μπορεί να φτάσει η μέλισσα χρησιμοποιώντας μία ή περισσότερες από αυτές τις εντολές;
EisatoponAI
Your Daily Experience of Math Adventures
Combinatorics • Hexagonal Grids • Mathematical Puzzles
1 σχόλιο:
Ας περιγράψουμε τις κινήσεις με διανύσματα πάνω στην κηρήθρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΘέτουμε:
• A=(0,1) (ένα κελί προς τα πάνω)
• B=(1,0) (κάτω-δεξιά)
• C=(−1,−1) (κάτω-αριστερά)
Πράγματι ισχύει:
A+B+C=(0,0)
δηλαδή μία κίνηση από κάθε τύπο επιστρέφει τη μέλισσα στο ίδιο κελί.
Οι τρεις επιτρεπόμενες «λέξεις» δίνουν συνολικά μετατοπίσεις:
1. ABA
A+B+A=(1,2)
2. BCBC
B+C+B+C=(0,−2)
3. CCA
C+C+A=(−2,−1)
Άρα κάθε θέση που μπορεί να φτάσει η μέλισσα έχει τη μορφή
x=a(1,2)+b(0,−2)+c(−2,−1) (1)
όπου: a, b, c ≥0.
Από τις ανωτέρω συντεταγμένες έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
x=a−2c (2)
y=2a−2b−c (3)
Το x=a-2c προέκυψε από το εξής:
Προσθέτουμε τις συντεταγμένες της (1) κι’ έχουμε:
Για την x συντεταγμένη:
• από το a(1,2) παίρνουμε a.
• από το b(0,−2) παίρνουμε 0.
• από το c(−2,−1) παίρνουμε −2c.
Άρα:
x=a(1,2)+b(0,−2)+c(−2,−1) === x=a+0−2c === x=a−2c
Το y=2a−2b−c προέκυψε από το εξής:
Προκύπτει με τον ίδιο τρόπο, κοιτάζοντας μόνο τις κατακόρυφες συνιστώσες.
• κάθε ABA προσθέτει +2 στο y.
• κάθε BCBC προσθέτει −2 στο y.
• κάθε CCA προσθέτει −1 στο y.
Αν χρησιμοποιήσουμε:
• a φορές το ABA.
• b φορές το BCBC.
• c φορές το CCA.
τότε η συνολική μεταβολή στο y είναι:
y=2a+(−2)b+(−1)c
δηλαδή:
y=2a−2b−c
Οπότε συνολικά:
(x,y)=(a−2c, 2a−2b−c)
Από την (2) συνάγουμε:
x=a−2c === a=x+2c (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
y=2a−2b−c === y=2*(x+2c)-2b-c === y=2x+4c-2b-c ===
y=2x+3c-2b === 2b=(2x+3c-y) === b=(2x+3c-y)/2 (5)
Τώρα μπορούμε πάντα να διαλέξουμε ένα αρκετά μεγάλο c με την ίδια το ίδιο και για το y (ώστε το κλάσμα να είναι ακέραιο).
Τότε και τα a,b γίνονται μη αρνητικοί ακέραιοι.
Άρα για οποιοδήποτε κελί (x,y) υπάρχουν κατάλληλοι αριθμοί a,b,c.
Συμπέρασμα:
Η μέλισσα μπορεί να φτάσει σε οποιοδήποτε κελί της κηρήθρας χρησιμοποιώντας μία ή περισσότερες από τις εντολές ABA, BCBC, CCA.