Πόσα ψηφία έχουν οι αριθμοί \(2^{2025}\) και \(5^{2025}\);
Έστω ότι \(K\) είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού \(2^{2025}\) και
\(N\) είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού \(5^{2025}\).
Να υπολογίσετε το άθροισμα \(K+N\).
Επιλογές:
(A) 2024
(B) 2025
(C) 2026
(D) 4050
(E) Καμία από τις παραπάνω
Λύση (πάτησε για εμφάνιση)
Το πλήθος των ψηφίων ενός θετικού ακέραιου \(n\) είναι
\(\big\lfloor \log_{10} n \big\rfloor + 1\).
Γράφουμε \(a = m + \alpha\) με \(m = \lfloor a \rfloor\) και
\(0<\alpha<1\) (η \(\log_{10}2\) είναι άρρητη, άρα \(\alpha\neq 0\)).
Τότε
\[
b = 2025 - a = 2025 - (m+\alpha)
= (2024 - m) + (1-\alpha),
\]
όπου \(0<1-\alpha<1\), άρα
\(\lfloor b \rfloor = 2024 - m\).
Έτσι:
\[
K+N
= \big(\lfloor a \rfloor + 1\big) + \big(\lfloor b \rfloor + 1\big)
= \big(m+1\big) + \big(2024 - m + 1\big)
= 2026.
\]
Επομένως το σωστό αποτέλεσμα είναι
\(K+N = 2026\), δηλαδή η επιλογή (C).
Digit Counts of \(2^{2025}\) and \(5^{2025}\)
Let \(K\) be the number of digits of the integer \(2^{2025}\), and let
\(N\) be the number of digits of the integer \(5^{2025}\).
Compute the sum \(K+N\).
Options:
(A) 2024
(B) 2025
(C) 2026
(D) 4050
(E) None of these
Solution (click to reveal)
The number of digits of a positive integer \(n\) is
\(\big\lfloor \log_{10} n \big\rfloor + 1\).
Hence
\[
K = \Big\lfloor 2025\log_{10} 2 \Big\rfloor + 1,\quad
N = \Big\lfloor 2025\log_{10} 5 \Big\rfloor + 1.
\]
Put \(a = 2025\log_{10} 2\) and \(b = 2025\log_{10} 5\).
Since \(\log_{10}2 + \log_{10}5 = \log_{10}10 = 1\),
we have \(a + b = 2025\).
Write \(a = m + \alpha\) with \(m = \lfloor a \rfloor\) and
\(0<\alpha<1\) (because \(\log_{10}2\) is irrational, so
\(\alpha \ne 0\)). Then
\[
b = 2025 - a = 2025 - (m+\alpha)
= (2024 - m) + (1-\alpha),
\]
and since \(0<1-\alpha<1\), we get \(\lfloor b \rfloor = 2024 - m\).
Therefore
\[
K+N
= \big(\lfloor a \rfloor + 1\big) + \big(\lfloor b \rfloor + 1\big)
= (m+1) + (2024 - m + 1)
= 2026.
\]
Thus \(K+N = 2026\), corresponding to option (C).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου