EisatoponAI: Από τον Simson στον Wallace: Η Ιστορία μιας Ευθείας

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν $P$ είναι ένα σημείο πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου $ABC$, τότε οι κάθετες προβολές του $P$ στις πλευρές $BC,CA,AB$ (ή στις προεκτάσεις τους, αν χρειάζεται), βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. Αυτή η ευθεία ονομάζεται ευθεία του Simson του σημείου $P$ ως προς το τρίγωνο $ABC$.

Ιστορικό:

Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται συχνά στον Robert Simson, αλλά στην πραγματικότητα αποδείχθηκε πρώτα από τον William Wallace (1797). Ωστόσο, το όνομα του Simson καθιερώθηκε ιστορικά.

Παρατηρήσεις:

Αν μετακινήσουμε το σημείο P κατά μήκος του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε η ευθεία του Simson μεταβάλλεται συνεχώς.
Αν P συμπέσει με ένα από τα σημεία $A,B,C$ τότε η ευθεία Simson περνάει από την κορυφή αυτή και την προβολή της στις απέναντι πλευρές.
Αν P είναι το ορθόκεντρο, η ευθεία Simson γίνεται ένα από τα ύψη (σε ειδικές περιπτώσεις).