Ο Κανόνας του Cramer για Συστήματα 3x3

Ο κανόνας του Cramer είναι μια μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, που βασίζεται στη χρήση οριζουσών. Ισχύει όταν η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι διάφορος του μηδενός.

Για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: \[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \] Ο κανόνας του Cramer ορίζει τις λύσεις ως εξής: \[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \] όπου \[ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\]  \[D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix} , \quad D_z = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix} \] Παράδειγμα:

Να λυθεί το σύστημα \[ \begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ -x + 3y + 2z = 7 \\ 3x - 2y + 4z = 1 \end{cases} \] Λύση 

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} =\] \[ =2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} ....= 49 \] και \[ D_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 7 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 7 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 7 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \] Υπολογίζοντας τις ορίζουσες αυτές βρίσκουμε: \[ D_x = 49, \quad D_y = 56, \quad D_z = 21 \] Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{49}{49} = 1, \quad y = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}, \quad z = \frac{21}{49} = \frac{3}{7} \]