Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [28]

Θεωρούμε συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

• Η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων και στο σημείο $A(1,f(1))$ δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.
• Η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και για κάθε $x \neq 0$ ισχύει $f''(x) - \dfrac{f'(x)}{x} = xe^x$.

 

$\alpha)$ Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = xe^x - e^x - \dfrac{ex^2}{2} + 1$.

$\beta)$ Να συγκρίνετε τους αριθμούς

 $f(e^{2004})$ και $f(2004)$.

$\gamma)$] Αν η συνάρτηση $g$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$, να αποδείξετε ότι 

$g(0) \leq \int_0^1 g(f(x)) dx \leq g(1-\dfrac{e}{2})$.