Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [26]

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής στο διάστημα $[0,1]$ και παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: 

• $f(1) = 0$ και 
• $2\sqrt{1-x} \cdot f'(x) = 1 + \dfrac{2\sqrt{1-x}}{x}$, για κάθε $x \in (0,1)$  

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = \ln x - \sqrt{1-x}$, $x \in [0,1]$. 

β) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε: 

i) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}$ 

ii) το όριο 

$\lim_{x \to 0} (x^2 \cdot f^{-1}(x))$ 

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής $M(x_0, f(x_0))$ με $x_0 \in (0,1)$. 

δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ αντιστοίχως στο ίδιο σύστημα αξόνων.