Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [22]

Δίνεται η συνάρτηση $f: \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$, με 

$f(x) = \sqrt{\varepsilon \phi x}$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f'(x) = \dfrac{1+f^4(x)}{2f(x)}$, $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 

και να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται, να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \to 1} \dfrac{f^{-1}(x) - f^{-1}(1)}{x - 1}$ 

και να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_{f^{-1}}$, στο σημείο $(1, f^{-1}(1))$. 

δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g(x) = f^4(x)$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = 0$ και $x = \dfrac{\pi}{4}$.