Σε ηλικία μόλις $19$ ετών, ο Carl Friedrich Gauss έκανε μια πρωτοποριακή ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει την ιστορία των μαθηματικών: απέδειξε ότι το κανονικό $17$-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μόνο χάρακα και διαβήτη.
Αυτό το επίτευγμα, που σημειώθηκε το $1796$, ήταν ιδιαίτερα σημαντικό καθώς σηματοδότησε την πρώτη πρόοδο στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων μετά από $2000$ χρόνια, από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών.
Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν ήδη καθορίσει ποιες κανονικά πολύγωνα με n πλευρές ήταν κατασκευάσιμα για συγκεκριμένες τιμές του $n$, όπως $n=3$ (τρίγωνο), $n=4$ (τετράγωνο), $n=5$ (πεντάγωνο), και συνδυασμούς αυτών (π.χ., $n=6,8,10,12,15$). Ωστόσο, η κατασκευή πολυγώνων με άλλες τιμές του $n$, όπως $n=7,9,11,13,17$, παρέμενε ένα άλυτο πρόβλημα.
Στην προσπάθειά του να κατασκευάσει το $17$-γωνο, ο Γκάους δεν απέδειξε απλώς την κατασκευασιμότητά του γεωμετρικά, αλλά ανακάλυψε και μια εκπληκτική αλγεβρική έκφραση για το συνημίτονο της κεντρικής γωνίας που υποτείνει μια πλευρά του $17$-γώνου, δηλαδή $cos(\dfrac{2π}{17})$. Η έκφραση που βρήκε ήταν:
$$\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{16} + $$
$$+\frac{2\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}}{16}$$
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου